2023年全国高中数学联赛天津赛区预赛选修1高中数学.docx

202323年全国高中数学联赛天津赛区预赛 一、选择题〔每题6分，共36分〕 1．方程的实数解的个数为〔 〕。 大于 答 选。 设，那么，因此，从而可得，因此是方程的两个实根，判别式，无解，所以选。 2．正边形被它的一些不在内部相交的对角线分割成假设干个区域，每个区域都是三角形，那么锐角三角形的个数为〔 〕。 大于 与分割的方法有关 答 选。 只有包含正边形中心的三角形是锐角三角形，所以只有一个，选。 3．关于参数的二次函数的最小值是关于的函数，那么的最小值为〔 〕。 以上结果都不对 答 选。 当时，的最小值为，其中。因为对称轴为，所以当时的最小值为，选。 4．为正整数，，实数满足，假设的最大值为，那么满足条件的数对的数目为〔 〕。 。 答 选。 因为，所以， 于是有，因此。由于，得，其中的最大值当，时取到。又因为，所以满足条件的数对的数目为，选。 5．定义区间的长度均为，其中。实数，那么满足的构成的区间的长度之和为〔 〕。 答 选。 原不等式等价于。 当或时，原不等式等价于。设，那么。设的两个根分别为，那么满足的构成的区间为，区间的长度为。 当时，同理可得满足的构成的区间为，区间的长度为。 由韦达定理，，所以满足条件的构成的区间的长度之和为，所以选。 6．过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切。假设，那么四面体的外接球的半径为〔 〕。 答 选。 过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，，垂足为，那么，且有。由于，那么，，，因此为半径为的球的直径，从而四面体的外接球的球心在的延长线上，于是有，解得。 二、填空题〔每题9分，共54分〕 7．假设关于的方程组有解，且所有的解都是整数，那么有序数对的数目为 。 答 。 因为的整数解为 ， 所以这八个点两两所连的不过原点的直线有条，过这八个点的切线有条，每条直线确定了唯一的有序数对，所以有序数对的数目为。 8．方程的所有正整数解为 。 答 。 因为，所以。设，类似的可得 。设，那么原方程化为，，即。因为，所以。又因为，所以为偶数，于是，经验证，，所以。 或由，得，又因为为奇数，所以经验证。 9．假设是边长为的正三角形的边上的点，与的内切圆半径分别为，假设，那么满足条件的点有两个，分别设为，那么之间的距离为 。 答 。 设，由余弦定理得。一方面，，另一方面，，解得。同理可得。从而有。当时，有最大值，且最大值为，所以。由于，所以。设两个根分别为，那么。 10．方程的不同非零整数解的个数为 。 答 。 利用，原方程 等价于 。 方程两端同除，整理后得。再同除，得 。 即，从而有 。 经验证均是原方程的根，所以原方程共有个整数根。 11．设集合，其中是五个不同的正整数，，假设中所有元素的和为，那么满足条件的集合的个数为 。 答 。 因为，所以。由于中有，因此中有。假设，那么，于是，无正整数解。假设，由于，所以，于是。又因为，当时，；当时，，因此满足条件的共有个，分别为。 12．在平面直角坐标系中定义两点之间的交通距离为。假设到点的交通距离相等，其中实数满足，那么所有满足条件的点的轨迹的长之和为 。 答 。 由条件得。 当时，无解； 当时，无解； 当时，无解； 当时，，线段长为。 当时，，线段长为。 当时，线段长为。 当时，无解。 当时，无解。 当时，无解。 综上所述，点的轨迹构成的线段的长之和为。 三、论述题〔每题20分，共60分〕 13．的外心为，，为的外接圆上且在内部的任意一点，以为直径的圆分别与交于点， 分别与或其延长线交于点，求证三点共线。 证明 连，与交于点，由于，因此是等腰三角形，所以,，于是可得，从而有在的中垂线上。由于，在的中垂线上，于是有，即三点共线。 14．数列满足，对于所有正整数，有，求使得成立的最小正整数。 解法一 设，的特征方程为，特征根为，结合，得。由二项式定理得。 当为奇数时，； 当为偶数时，。 于是，即，所以满足条件的最小正整数为。 解法二 下面都是在模意义下的,那么,即,因此数列在模意义下具有等差数列的特点。又因为，所以。于是有，因此满足条件的最小正整数为。 15．排成一排的名学生生日的月份均不相同，有名教师，依次挑选这些学生参加个兴趣小组，每个学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的〔挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少的〕，每名教师尽可能多项选择学生，对于学生所有可能的排序，求的最小值。 解 的最小值为。 假设，不妨假设这名学生生日的月份分别为，当学生按生日排序为时，存在一名教师至少要挑选前四名学生中的两名，由于这两名学生生日的月份是逐渐减少的，且后六名学生生日的月份均大于前四名学生生日的月份，因此这名教师不可能再挑选后六名学生；在余下的不超过两名教师中，一定存在一名教师至少要挑选第五名至第七名学生中的两名，同理，这名教师不可能再挑选后三名学生；余下的不超过一名教师也不可能挑选后三名学生，矛盾。 下面先证明：对于互不相同的有序实数列，当时，一定存在三个数满足或。 设最大数和最小数分别为，不妨假设。假设，那么满足；，因为，所以要么在的前面，要么在的后面至少有两个数，不妨假设在的后面有两个数，从而与中一定有一个成立。 引用上面的结论，当时，第一名教师至少可以挑选三名学生；假设余下的学生大于等于名，那么第二名教师也至少可以挑选三名学生；这时剩下的学生的数目不超过名，可以被两名教师全部挑选，因此，的最小值为。