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2023
年一题
多变
思维
提升
一题多变一题多变,思维提升思维提升 摘 要:本文以一道模拟试题为素材,对试题不断进行变式,最终达到一般性结论,这可以拓宽学生的思维,提高学生的解题能力,增强学生学习数学的兴趣,同时体现数学的美和数学的博大精深.关键词:变式研究;拓展思维;解题能力 通过一题多变的训练可以激发学生把问题多元化,由浅及深.一题多变的目的在于思维的“激发性”与“创造性”,在于让学生从多变中分析出解题的本质,获得思维水平更高的提升.本文通过一道平面向量试题的多变及解析,希望对学生学习解题有所帮助.1 题目呈现与解析 题目 已知点 O 是 ABC 的外心,AB=4,AC=2,则 AO(AB+AC)=().A.10 B.9 C.8 D.6 解析 AO(AB+AC)=AOAB+AOAC=ABAOcosOAB+ACAOcosOAC=12AB2+12AC2=10.故选 A.2 题目变式与解析 变式 1 已知点 O 是 ABC 的外心,AB=4,AC=2,ACAB=-2,若 AO=xAC+yAB,则 x+y=.解法 1 因为 AO=xAC+yAB,所以 AOAC=4x-2y,AOAB=-2x+16y.即 4x-2y=2,-2x+16y=8.解得 x=45,y=35.故 x+y=75.解法 2 如图 1 建系,A(0,0),C(2,0),B(-1,15).BC 的中垂线为 y-152=155(x-12).令 x=1 时,y=3155,即 O(1,3155).因为 AO=xAC+yAB,所以 x=45,y=35.故 x+y=75.变式 2(2018 年吉林松原模拟)已知ABC 外接圆的圆心为 O,AB=2 3,AC=2 2,A 为钝角,M 是 BC 边的中点,则 AMAO 等于().A.3 B.4 C.5 D.6 解析 因为 M 是 BC 边的中点,所以 AM=12(AB+AC).因为 O 是ABC 的外接圆的圆心,所以 AOAB=AOABcosBAO=12AB2=12(2 3)2=6.同理可得 AOAC=12|AC|2=12(2 2)2=4.所以 AMAO=12(AB+AC)AO=12ABAO+12ACAO=12(6+4)=5.故选 C.变式 3(2018 年山西四校联考)ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若AB+AC=2AO,且|OA|=|AC|,则 BA 在向量 BC 方向上的投影为().A.32 B.32 C.3 D.-32 解析 ABC 的外接圆的圆心在线段 BC 的中点 O 处,因此ABC 是直角三角形,且A=2.又因为|OA|=|CA|,所以C=3,B=6.所以 AB=3,AC=1.故 BA 在 BC 方向上的投影|BA|cos6=32.故选 A.变式 4(原创题)已知 O 是 ABC 内一点(包括三边),AB=4,AC=2,ACAB=-4,若 AO=xAC+yAB,则 x+2y 的最大值是.解析 如图 3 建系,A(0,0),B(4,0),C(-1,3),设 O(x0,y0).因为 AO=xAC+yAB,所以 x0=-x+4y,y0=3x.因为 O(x0,y0)是 ABC 内一点(包括三边),则满足 y0+3x00,y00,35(x0-4)+y00.将代入得 x0,y0,x-1+y0.问题转化为:x,y 满足 x0,y0,x-1+y0,求 x+2y 的最大值,画出 x,y的可行域.当 x=0y=1 时,x+2y 取最大值 2.变式 5(2009 年安徽卷理)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB,它们的夹角为 120,如图 4 所示,点 C 在以 O 为圆心的 AB 上变动,若 OC=xOA+yOB,其中 x,yR,则 x+y 的最大值是.解析 设 OA 与 OC 的夹角为,则 OB 与 OC 的夹角为 23-.|OA|=a,|OB|=b,|OC|=c.所以 OC=casin(23-)sin23OA+cbsinsin23OB=sin(23-)32OA+sin32OB.所以 x=sin(23-)32,y=sin32.所以 x+y=sin(23-)32+sin32=23(32cos+32sin)=3sin+cos=2sin(+6).因為 023,所以 6+656.所以 12sin(+6)1.所以 1x+y2.所以 x+y 的最大值是 2.推广 已知向量 OA 和 OB 不共线,OA=a,OB=b,OC=c,且 OA 与 OC 的夹角为,OB 与 OC 的夹角为,(1)当点 C 位于第,区域时,则有 OC=casinsin(+)OA+cbsinsin(+)OB;(2)当点 C 位于第,区域时,则有 OC=casinsin(-)OA-cbsinsin(-)OB.参考文献:1中华人民共和国教育部.普通高中课程标准实验教科书M.北京:北京师范大学出版社,2010.2吕二动.一道以解析几何为背景的最值问题的多角度思考J.理科考试研究,2019,26(07):18-20.3刘占权.一道“希望杯”试题解法的深入研究.数理化学习(高中版),2017(08):30-31.(收稿日期:2019-11-12)