2023年高三数学一轮热身AB组22《函数的单调性》doc高中数学.docx

第二节 函数的单调性 A组 1．(2023年高考福建卷改编)以下函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)〞的是________． ①f(x)＝　②f(x)＝(x－1)2 ③f(x)＝ex　④f(x)＝ln(x＋1) 解析：∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．答案：① 2．函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，那么函数g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单调减区间是________． 解析：∵0<a<1，y＝logax为减函数，∴logax∈[0，]时，g(x)为减函数． 由0≤logax≤≤x≤1.答案：[，1](或(，1)) 3．函数y＝＋ 的值域是________． 解析：令x＝4＋sin2α，α∈[0，]，y＝sinα＋cosα＝2sin(α＋)，∴1≤y≤2. 答案：[1,2] 4．函数f(x)＝|ex＋|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增，那么实数a的取值范围__． 解析：当a<0，且ex＋≥0时，只需满足e0＋≥0即可，那么－1≤a<0；当a＝0时，f(x)＝|ex|＝ex符合题意；当a>0时，f(x)＝ex＋，那么满足f′(x)＝ex－≥0在x∈[0,1]上恒成立．只需满足a≤(e2x)min成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1. 答案：－1≤a≤1 5．(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)≥M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，以下函数中，有下确界的所有函数是________． ①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝ 解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx的下确界为－1，即f(x)＝sinx是有下确界的函数；∵f(x)＝lgx的值域为(－∞，＋∞)，∴f(x)＝lgx没有下确界；∴f(x)＝ex的值域为(0，＋∞)，∴f(x)＝ex的下确界为0，即f(x)＝ex是有下确界的函数； ∵f(x)＝的下确界为－1.∴f(x)＝是有下确界的函数．答案：①③④ 6．函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1. (1)假设存在x∈R使f(x)<b·g(x)，求实数b的取值范围； (2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围. 解：(1)x∈R，f(x)<b·g(x)x∈R，x2－bx＋b<0Δ＝(－b)2－4b>0b<0或b>4.(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4， ①当Δ≤0即－≤m≤时，那么必需 －≤m≤0. ②当Δ>0即m<－或m>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1<x2)，假设≥1，那么x1≤0. m≥2. 假设≤0，那么x2≤0， －1≤m<－.综上所述：－1≤m≤0或m≥2. B组 1．(2023年山东东营模拟)以下函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________． ①y＝－　②y＝－(x－1)　③y＝x2－2　④y＝－|x| 解析：由函数y＝－|x|的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④ 2．假设函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是________． 解析：令g(x)＝x2－ax＋3a，由题知g(x)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)>0. ∴∴－4<a≤4.答案：－4<a≤4 3．假设函数f(x)＝x＋(a>0)在(，＋∞)上是单调增函数，那么实数a的取值范围__． 解析：∵f(x)＝x＋(a>0)在(，＋∞)上为增函数，∴≤，0<a≤. 答案：(0，] 4．(2023年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，那么以下结论正确的选项是________． ①f(3)<f(－2)<f(1)　②f(1)<f(－2)<f(3) ③f(－2)<f(1)<f(3)　④f(3)<f(1)<f(－2) 解析：由<0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(2)＝f(－2)，即f(3)<f(－2)<f(1)．答案：① 5．(2023年陕西西安模拟)函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，那么a的取值范围是________． 解析：由题意知，f(x)为减函数，所以解得0<a≤. 6．(2023年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如以下列图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(x)＝f(x)·(x－1)，那么函数g(x)的最大值为________． 解析：g(x)＝ 当0≤x<1时，最大值为0；当1≤x≤3时， 在x＝2取得最大值1.答案：1 7．(2023年安徽合肥模拟)定义域在[－1,1]上的函数y＝f(x)的值域为[－2,0]，那么函数y＝f(cos)的值域是________． 解析：∵cos∈[－1,1]，函数y＝f(x)的值域为[－2,0]，∴y＝f(cos)的值域为[－2,0]．答案：[－2,0] 8．f(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，那么函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________． 解析：∵函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为 ∴x∈[1,3]，令log3x＝t，t∈[0,1]， ∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，∴当t＝1时，ymax＝13.答案：13 9．假设函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，那么f(x)的单调递增区间为__________． 解析：令μ＝2x2＋x，当x∈(0，)时，μ∈(0,1)，而此时f(x)>0恒成立，∴0<a<1. μ＝2(x＋)2－，那么减区间为(－∞，－)．而必然有2x2＋x>0，即x>0或x<－.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－)．答案：(－∞，－) 10．试讨论函数y＝2(logx)2－2logx＋1的单调性． 解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u＝g(x)＝logx，y＝f(u)＝2u2－2u＋1，那么原函数y＝f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而u＝logx在x∈(0，＋∞)内是减函数，y＝2u2－2u＋1＝2(u－)2＋在u∈(－∞，)上是减函数，在u∈(，＋∞)上是增函数．又u≤，即logx≤，得x≥；u>，得0<x<.由此，从下表讨论复合函数y＝f[g(x)]的单调性： 函数 单调性 (0，) (，＋∞) u＝logx f(u)＝2u2－2u＋1   y＝2(logx)2－2logx＋1   故函数y＝2(logx)2－2logx＋1在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增． 11．(2023年广西河池模拟)定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)假设f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2. 解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0. (2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，那么>1，由于当x>1时，f(x)<0， 所以f()<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)由f()＝f(x1)－f(x2)得f()＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. 由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， 由f(|x|)<f(9)，得|x|>9，∴x>9或x<－9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}． 12．：f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足以下三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.假设存在，求出a、b；假设不存在，说明理由． 解：∵f(x)在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1时，f(x)最小，log3＝1.即a＋b＝2. 设0＜x1＜x2≤1，那么f(x1)＞f(x2)．即＞恒成立． 由此得＞0恒成立． 又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1. 设1≤x3＜x4，那么f(x3)＜f(x4)恒成立．∴＜0恒成立． ∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1.∴存在a、b，使f(x)同时满足三个条件．