2023年江苏省海安县南莫高三数学上学期期中.docx

南莫中学2023届高三期中考试试题数 学（选修） (总分值160分，考试时间120分钟) 一、填空题：本大题共14小题，每题5分,共70分．请将答案填写在答题卡相应位置. 1. 函数的最小正周期是 ▲ . 2．设集合，A={2，3，5}，B={1，4}，那么= ▲ . 3．复数（i是虚数单位）的实部是 ▲ . 4．命题“〞的否认是 ▲ . 5．向量a=，b⊥a，且|b|=2，那么向量b的坐标是 ▲ . 6．将函数的图象按向量p=平移后所得图象的解析式是 ▲ . 7．假设向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为，那么|a+b|= ▲ . 8. 在等比数列{an}中，假设a3a83a13=243，那么的值为 ▲ . 9. 假设函数在上是增函数，那么m的取值范围是 ▲ . 10. 某地区为了了解70～80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查. 下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表： 在上述统计数据的分析中，一局部计算见算法流程图，那么 输出的S的值是 ▲ . 11. 假设关于x的方程kx－lnx=0有解，那么k的取值范围是 ▲ . 12. 设等差数列的前n项和为，假设，那么 ▲ . 13. 设是定义在上的减函数，且对一切都成立，那么a的取值范围是 ▲ . 14. 设函数，那么以下命题中正确命题的序号是 ▲ . ①当时，在R上有最大值； ②函数的图象关于点对称； ③方程=0可能有4个实根； ④当时，在R上无最大值； ⑤一定存在实数a，使在上单调递减. 二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （此题总分值14分） 设{an}是公比为q的等比数列，试用a1，q，n ()表示Sn=. 16．（本小题总分值14分） 如图，一个半径为10m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的 距离为d（m）（P在水下，那么d为负数），那么d与时间t（s）之间满足关系式： ，且当点P从水面上浮现时开始计算时间. 现有以下四个结论：①；②；③；④b=5. （1）直接写出正确结论的序号； （2）对你认为正确的结论予以证明，并改正错误的结论. 17. （此题总分值14分） 定义在R上的奇函数有最小正周期2，且当时，. （1）求在[－1，0)上的解析式； （2）判断在(－2，－1)上的单调性，并给予证明． 18．（此题总分值14分） △ABC的面积为，且，向量和 是共线向量. （1）求角C的大小；（2）求△ABC的三边长. 19．（此题总分值16分） 二次函数的图象经过点(0,1)，其导函数，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)均在函数的图象上. （1）求数列{an}的通项公式an和； （2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m. 20．（本小题总分值18分） 函数(a，b均为正常数). （1）求证：函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点； （2）设函数在处有极值. ①对于一切，不等式恒成立，求b的取值范围； ②假设函数f (x)在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围. 2023届高三期中考试 数学（选修物理）参考答案及评分建议 【填空题答案】 1．2  2．{6} 3. 4． 5. 或 6.   7. 8. 3 9. 10. 11. 12. 13. 14. ①③⑤ 二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （此题总分值14分） 设{an}是公比为q的等比数列，试用a1，n，q()表示Sn=. 【解】因为{an}是公比为q的等比数列，所以.……………………2分 于是Sn=即 . ① …………………4分 在上式两边同乘以q，得 ， ②……………………6分 由①－②得 …………………………8分 所以，当时，. ……………………… 10分 显然，当q=1时， ……………………… 12分 故 ……………………… 14分 16．（本小题总分值14分） 如图，一个半径为10m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的 距离为d（m）（P在水下，那么d为负数），那么d与时间t（s）之间满足关系式： ，且当点P从水面上浮现时开始计算时间. 现有以下四个结论：①；②；③；④b=5. （1）直接写出正确结论的序号； （2）对你认为正确的结论予以证明，并改正错误的结论. 【解】（1）① ④. …………………………6分 （2）由题意得，点P在最高位置时，d=15m， 点P在最低位置时，d=－5m，于是有 解得A=10，b=5，故①和④都是正确的. ……………………… 10分 由于水轮按逆时针方向每分钟转4圈，故它的周期是T=15. 所以. ……………………… 12分 由题意得t=0时，d=0，所以. 因为，所以. ……………………… 14分 17. （此题总分值14分） 定义在R上的奇函数有最小正周期2，且当时，. （1）求在[－1，0)上的解析式； （2）判断在(－2，－1)上的单调性，并给予证明． 【解】（1）因为奇函数的定义域为R，周期为2， 所以，且，于是……………………2分 当时，， .  …………………………5分 所以在[－1，0)上的解析式为……………………7分 （2）在(－2，－1)上是单调增函数. …………………………9分 先讨论在(0,1)上的单调性. [方法1]设， 那么 因为，所以，于是， 从而，所以在(0,1)上是单调增函数.  ……………………… 12分 因为的周期为2，所以在(－2，－1)上亦为单调增函数. ……………… 14分 [方法2]当时，. 因为ln2>0，，所以， 所以在(0,1)上是单调增函数. ……………………… 12分 因为的周期为2，所以在(－2，－1)上亦为单调增函数. ……………… 14分 【注】第(2)小题亦可利用周期性求出，再利用定义或导数确定单调性. 18．（此题总分值14分） △ABC的面积为，且，向量和 是共线向量. （1）求角C的大小； （2）求△ABC的三边长. 【解】（1）因为向量和是共线向量， 所以， …………………………2分 即sinAcosB+cosAsinB－2sinCcosC=0， 化简得sinC－2sinCcosC=0，即sinC(1－2cosC)=0. …………………………4分 因为，所以sinC>0，从而， …………………………6分 （2），于是AC. ………………8分 因为△ABC的面积为，所以， 即，解得 ……………………… 11分 在△ABC中，由余弦定理得 所以 ……………………… 14分 19．（此题总分值16分） 二次函数的图象经过点(0,1)，其导函数，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)均在函数的图象上. （1）求数列{an}的通项公式an和； （2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得对所有都成立的最 小正整数m. 【解】（1）由题意，可设. 因为函数的图象经过点(0,1)，所以. 而，所以a=3，b=－2. 于是. …………………………3分 因为点(n，Sn)均在函数的图象上，所以Sn.…………5分 所以a1=S1=2，当时，， 故   …………………………8分 （2） ……………………… 10分 所以当n>1时， . ……………………… 12分 对所有都成立对所有都成立 故所求最小正整数m为6. ……………………… 16分 20．（本小题总分值18分） 函数(a，b均为正常数). （1）求证：函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点； （2）设函数在处有极值. ①对于一切，不等式恒成立，求b的取值范围； ②假设函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围. 【证】（1）因为， ， 所以函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点. …………………………4分 【解】（2）. …………………………6分 因为函数在处有极值，所以，即，所以a=2. 于是.  …………………………8分 ①， 于是本小题等价于对一切恒成立. 记，那么 因为，所以，从而， 所以，所以，即g(x)在上是减函数. 所以，于是b>1，故b的取值范围是………………… 12分 ②， 由得，即 ……………………… 14分 因为函数f(x)在区间上是单调增函数， 所以， 那么有 即 只有k=0时，适合，故m的取值范围是 ……………………… 18分