2023年西城区九年级上学期期末数学试卷及答案.docx

北京市西城区2023——2023学年度第一学期期末试卷〔北区〕 九年级数学 考生须知 1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，总分值120分。考试时间120分钟。 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 3．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 一、选择题〔此题共32分，每题4分〕 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 抛物线的对称轴为〔 〕. A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，假设∠C=15°， 那么∠BOC =〔 〕. A．60° B．45° C．30° D．15° 3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都 是1，假设△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，那么 tan∠ACB的值为〔 〕. A．1 B．　 　C． D． 　 4．用配方法将化成的形式为〔 〕. A． 　 B． C． D． 5．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△ 〔顶点均在格点上〕，假设它们是以P点为位似中心的 位似图形，那么P点的坐标是〔 〕. A． B． C． D． 6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这 种商品每天的销售量P〔件〕与每件的销售价〔元〕满足关系：. 假设商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程 正确的选项是〔 〕. A． 　 B． C． D． 7. 如图，△OAB中，OA=OB，∠A=30°，⊙O与AB相切， 切点为E，并分别交OA，OB于C，D两点，连接CD. 假设CD等于，那么扇形OCED的面积等于〔 〕. A．π　 B．π C．π D．π 8. 如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心， OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q.当点Q也落在 ⊙O上时，cos∠OQB的值等于〔 〕. A． 　 B． C． D． 二、填空题〔此题共16分，每题4分〕 9. 如图，在△ABC中，DE∥AB分别交AC，BC于点D，E， 假设AD=2，CD=3，那么△CDE与△CAB的周长比为 . 10. 两圆的半径分别为3cm和4cm，假设圆心距为5cm，那么这两圆的位置关系为 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　 11. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A，以OA为半径作⊙O， 假设点P，B都在⊙O上，且四边形AOPB为菱形，那么点P的坐标 为 . 12．抛物线〔a ≠ 0〕满足条件：〔1〕；〔2〕； 〔3〕与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①； ②；③；④，其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题〔此题共31分，第13～17题每题5分，第18题6分〕 13．计算：． 14．假设关于x的方程 有实数根． 〔1〕求a的取值范围； 〔2〕假设a为符合条件的最小整数，求此时方程的根． 15．：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°， AC=，D为CB延长线上一点，且BD=2AB． 求AD的长． 16．右图为抛物线的一局部，它经过A， B两点． 〔1〕求抛物线的解析式； 〔2〕将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位， 求平移后的抛物线的解析式． 17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B 的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高 楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度.〔取1.414， 〕 18．对于抛物线 . 〔1〕它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； 〔2〕在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … 〔3〕利用以上信息解答以下问题：假设关于x的一元二次方程 〔t为实数〕在＜x＜的范围内有 解，那么t的取值范围是 ． 四、解答题〔此题共19分，第20题4分，其余每题5分〕 19．：如图，在△ABC中，AB=AC= 5，BC= 8， D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C． 〔1〕求证：△BDE∽△CAD； 〔2〕假设CD=2，求BE的长． 20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转角〔〕 ，将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度． 〔1〕当两个矩形旋转到顶点C，F重合时〔如图2〕，∠DCE= °，点C到直线l的距离等于 ，= °； 〔2〕利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合局部为正方形时，= °． 21．：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于 点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC. 〔1〕求证：AD是⊙O的切线； 〔2〕假设AC=8，tanB =，求AD的长. 22．请阅读下面材料： 假设， 是抛物线〔a ≠ 0〕上不同的两点，证明直线 为此抛物线的对称轴. 有一种方法证明如下： ① ② 证明：∵ ，是抛物线〔a ≠ 0〕上不同的两点， ∴ 且 ≠. ①-②得 . ∴ . ∴ . 又∵ 抛物线〔a ≠ 0〕的对称轴为， ∴ 直线为此抛物线的对称轴. 〔1〕反之，如果， 是抛物线〔a ≠ 0〕上不同的 两点，直线 为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜测，并参考上述方法写出证明过程； 〔2〕利用以上结论解答下面问题： 二次函数 当x = 4 时的函数值与x = 2023 时的函数值相等，求x = 2023时的函数值. 五、解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕 23. 关于x的一元二次方程 .〔其中m为实数〕 〔1〕假设此方程的一个非零实数根为k， ① 当k = m时，求m的值； ② 假设记为y，求y与m的关系式； 〔2〕当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 24. 抛物线〔其中a ≠ c且a ≠0〕. 〔1〕求此抛物线与x轴的交点坐标；〔用a，c的代数式表示〕 〔2〕假设经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为， 求此抛物线的解析式； 〔3〕点P在〔2〕中x轴上方的抛物线上，直线与 y轴的交点为C，假设 ，求点P的坐标； 〔4〕假设〔2〕中的二次函数的自变量x在n≤x＜〔n为正整数〕的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N， 那么N关于n的函数关系式为 . 25. 含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转角〔且≠ 90°〕，得到Rt△，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥交边于点E，连接BE. 〔1〕如图1，当边经过点B时，= °； 〔2〕在三角板旋转的过程中，假设∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜测m的值并证明你的结论； 〔3〕 设 BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S= 时，求AD的长，并判断此时直线与⊙E的位置关系. 北京市西城区2023 — 2023学年度第一学期期末试卷〔北区〕 九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题〔此题共32分，每题4分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D A A B C 二、填空题〔此题共16分，每题4分〕 9.. 10. 相交. 11. ，.〔每个2分〕 12.②，④.〔写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分〕 三、解答题〔此题共31分，第13～17题每题5分，第18题6分〕 13．解： ……………………………………………………………3分 . ……………………………………………………………………………5分 14．解：〔1〕.…………………………………………………… 1分 ∵ 该方程有实数根， ∴ ≥0．…………………………………………………………………2分 解得a≥．……………………………………………………………………3分 〔2〕当a为符合条件的最小整数时，a = ． ………………………………… 4分 图1 此时方程化为，方程的根为．…………………5分 15．解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=， ∴ ，BC=1．……………………2分 ∵ D为CB延长线上一点，BD=2AB ， ∴ BD=4，CD=5． …………………………………………………………………4分 ∴ ．……………………………………………………5分 16．解：〔1〕∵ 抛物线经过A，B两点， ∴ ……………………………………………………………1分 解得 …………………………………………………………………2分 ∴ 抛物线的解析式为． ……………………………………3分 〔2〕∵ 抛物线的顶点坐标为， ∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为． ∴ 平移后的抛物线的解析式为．…………5分 图2 17．解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°， ∴ BD=AD=50(m)． …………………………………………2分 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°， ∴ (m) ． ………………………………4分 ∴ BC= BD+CD=(m)．……5分 答：这栋楼约高 m． 18．解：〔1〕它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为图3 ； ………………………………………3分 x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 〔2〕列表： ……………………………4分 图象如图3所示． ……………………………5分 图4 〔3〕t的取值范围是．……………………6分 四、解答题〔此题共19分，第20题4分，其余每题5分〕 19．〔1〕证明：∵ AB=AC， ∴ ∠B=∠C．……………………………1分 ∵ ∠ADE+∠BDE=∠ADB =∠C+∠CAD， ∠ADE=∠C， ∴ ∠