2023年高考数学一轮复习学案（人教版A版）――曲线方程及圆锥曲线的综合问题高中数学.docx

2023年高考数学一轮复习精品学案〔人教版A版〕 曲线方程及圆锥曲线的综合问题 一．【课标要求】 1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练； 2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 3．了解圆锥曲线的简单应用. 二．【命题走向】 近年来圆锥曲线在高考中比拟稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计202323年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主. 1．求曲线〔或轨迹〕的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的根本思想方法和能力； 2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，表达了解析几何与其他数学知识的联系。 预测2023年高考： 1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题； 2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问. 三．【要点精讲】 1．曲线方程 〔1〕求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下： 步 骤 含 义 说 明 1、“建〞：建立坐标系；“设〞：设动点坐标。 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。 (1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。 (2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。 2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。 写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)} 这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。 3、“代〞：代换 用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式。 4、“化〞：化简 化方程f(x,y)=0为最简形式。 要注意同解变形。 5、证明 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 化简的过程假设是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀〞：建设现(限)代化〞 〔2〕求曲线方程的常见方法： 直接法：也叫“五步法〞，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的根本方法。 转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法. 参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。 2．圆锥曲线综合问题 〔1〕圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法： 设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，那么弦长|AB|为： 假设弦AB过圆锥曲线的焦点F，那么可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围. 〔2〕对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。 〔3〕实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等. 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是： 〔4〕知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现局部有较强区分度的综合题. 四．【典例解析】 题型1：求轨迹方程 例1．〔1〕一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 〔2〕双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。 解析：〔1〕〔法一〕设动圆圆心为，半径为，设圆的圆心分别为、， 将圆方程分别配方得：，， 当与相切时，有 ① 当与相切时，有 ② 将①②两式的两边分别相加，得， 即 ③ 移项再两边分别平方得： ④ 两边再平方得：， 整理得， 所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆. 〔法二〕由解法一可得方程， 由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上， ∴，，∴，， ∴， ∴圆心轨迹方程为。 〔2〕如图，设点坐标各为，∴在双曲线方程中，∴ ∴双曲线两焦点为， ∵存在，∴ 由三角形重心坐标公式有，即 。 ∵，∴。 点在双曲线上，将上面结果代入曲线方程，有 即所求重心的轨迹方程为：。 点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法〞求轨迹方程的方法. 例2．(2023年广东卷文)〔本小题总分值14分〕 椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点. (1)求椭圆G的方程 (2)求的面积 (3)问是否存在圆包围椭圆G请说明理由. 解〔1〕设椭圆G的方程为： 〔〕半焦距为c; 那么 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. (2 )点的坐标为 〔3〕假设，由可知点〔6，0〕在圆外， 假设，由可知点〔-6，0〕在圆外； 不管K为何值圆都不能包围椭圆G. 题型2：圆锥曲线中最值和范围问题 例3．〔1〕〔2023辽宁卷理〕以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，那么的最小值为 。 【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 〔2〕〔2023重庆卷文、理〕椭圆的左、右焦点分别为，假设椭圆上存在一点使，那么该椭圆的离心率的取值范围为 ． 【解析1】因为在中，由正弦定理得 那么由，得，即 设点由焦点半径公式，得那么 记得由椭圆的几何性质知，整理得 解得，故椭圆的离心率 【解析2】 由解析1知由椭圆的定义知 ，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1. 【答案】 〔3〕〔2023四川卷理〕直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是〔 〕 A.2 B.3 C. D. 【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。 【解析1】直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故此题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，应选择A。 【解析2】如图，由题意可知 【答案】A 点评：由△PAF成立的条件，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出这一关键结论. 例4．〔1〕〔2023江苏卷〕〔此题总分值10分〕 在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A〔2，2〕，其焦点F在轴上。 〔1〕求抛物线C的标准方程； 〔2〕求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程； 〔3〕设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。 〔2〕(2023山东卷文)〔本小题总分值14分〕 设,在平面直角坐标系中,向量,向量,,动点的轨迹为E. 〔1〕求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 〔2〕,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3),设直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值并求最大值. 解〔1〕因为,,, 所以, 即. 当m=0时,方程表示两直线,方程为; 当时, 方程表示的是圆 当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线. (2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即, 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 那么使△=, 即,即, 且 , 要使, 需使,即, 所以, 即且, 即恒成立. 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为,, 所求的圆为. 当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足. 综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. (3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A1, 由〔2〕知, 即 ①, 因为与轨迹E只有一个公共点B1, 由〔2〕知得, 即有唯一解 那么△=, 即, ② 由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 由 中,所以,, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以, 在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即 当时|A1B1|取得最大值,最大值为1. 【命题立意】:此题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 题型3：证明问题和对称问题 例5．〔1〕如图，椭圆＝1〔a＞b＞0〕与过点A〔2，0〕B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=. (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：∠ATM=∠AFT。 解 (1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 〔2〕〔2023天津卷文〕〔本小题总分值14分〕 椭圆〔〕的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且 〔Ⅰ求椭圆的离心率； 〔Ⅱ〕直线AB的斜率； 〔Ⅲ〕设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值。 解 〔1〕由，得,从而 ，整理得，故离心率 〔2〕由〔1〕知，，所以椭圆的方程可以写为 设直线AB的方程为即 由设那么它们的坐标满足方程组 消去y整理，得 依题意， 而，有题设知，点B为线段AE的中点， 所以 联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得. (3)由〔2〕知，，当时，得A由得 线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 直线的方程为，于是点满足方程组 由，解得，故