2023
年高
数学
一轮
复习
人教版
曲线
方程
圆锥曲线
综合
问题
高中数学
2023年高考数学一轮复习精品学案〔人教版A版〕
曲线方程及圆锥曲线的综合问题
一.【课标要求】
1.由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要加强等价转化思想的训练;
2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想;
3.了解圆锥曲线的简单应用.
二.【命题走向】
近年来圆锥曲线在高考中比拟稳定,解答题往往以中档题或以押轴题形式出现,主要考察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计202323年高考对本讲的考察,仍将以以下三类题型为主.
1.求曲线〔或轨迹〕的方程,对于这类问题,高考常常不给出图形或不给出坐标系,以考察学生理解解析几何问题的根本思想方法和能力;
2.与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题,这类问题的综合型较大,解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确的构造不等式或方程,表达了解析几何与其他数学知识的联系。
预测2023年高考:
1.出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题;
2.可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题,也可能出现在解答题中间的小问.
三.【要点精讲】
1.曲线方程
〔1〕求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下:
步 骤
含 义
说 明
1、“建〞:建立坐标系;“设〞:设动点坐标。
建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。
(1) 所研究的问题已给出坐标系,即可直接设点。
(2) 没有给出坐标系,首先要选取适当的坐标系。
2、现(限):由限制条件,列出几何等式。
写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}
这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析题意,使写出的条件简明正确。
3、“代〞:代换
用坐标法表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0
常常用到一些公式。
4、“化〞:化简
化方程f(x,y)=0为最简形式。
要注意同解变形。
5、证明
证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
化简的过程假设是方程的同解变形,可以不要证明,变形过程中产生不增根或失根,应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。
这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀〞:建设现(限)代化〞
〔2〕求曲线方程的常见方法:
直接法:也叫“五步法〞,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的根本方法。
转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。
几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法.
参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐标,间接地把坐标x,y联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程。
2.圆锥曲线综合问题
〔1〕圆锥曲线中的最值问题、范围问题
通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用,要注意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法:
设圆锥曲线C∶f(x,y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,那么弦长|AB|为:
假设弦AB过圆锥曲线的焦点F,那么可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|.
在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围.
〔2〕对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法。
〔3〕实际应用题
数学应用题是高考中必考的题型,随着高考改革的深入,同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等.
涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系,合理选择曲线模型,然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是:
〔4〕知识交汇题
圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现局部有较强区分度的综合题.
四.【典例解析】
题型1:求轨迹方程
例1.〔1〕一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。
〔2〕双曲线有动点,是曲线的两个焦点,求的重心的轨迹方程。
解析:〔1〕〔法一〕设动圆圆心为,半径为,设圆的圆心分别为、,
将圆方程分别配方得:,,
当与相切时,有 ①
当与相切时,有 ②
将①②两式的两边分别相加,得,
即 ③
移项再两边分别平方得:
④
两边再平方得:,
整理得,
所以,动圆圆心的轨迹方程是,轨迹是椭圆.
〔法二〕由解法一可得方程,
由以上方程知,动圆圆心到点和的距离和是常数,所以点的轨迹是焦点为、,长轴长等于的椭圆,并且椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,
∴,,∴,,
∴,
∴圆心轨迹方程为。
〔2〕如图,设点坐标各为,∴在双曲线方程中,∴
∴双曲线两焦点为,
∵存在,∴
由三角形重心坐标公式有,即 。
∵,∴。
点在双曲线上,将上面结果代入曲线方程,有
即所求重心的轨迹方程为:。
点评:定义法求轨迹方程的一般方法、步骤;“转移法〞求轨迹方程的方法.
例2.(2023年广东卷文)〔本小题总分值14分〕
椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.
(1)求椭圆G的方程
(2)求的面积
(3)问是否存在圆包围椭圆G请说明理由.
解〔1〕设椭圆G的方程为: 〔〕半焦距为c;
那么 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为:.
(2 )点的坐标为
〔3〕假设,由可知点〔6,0〕在圆外,
假设,由可知点〔-6,0〕在圆外;
不管K为何值圆都不能包围椭圆G.
题型2:圆锥曲线中最值和范围问题
例3.〔1〕〔2023辽宁卷理〕以知F是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的动点,那么的最小值为 。
【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),
于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4
而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5
两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.
【答案】9
〔2〕〔2023重庆卷文、理〕椭圆的左、右焦点分别为,假设椭圆上存在一点使,那么该椭圆的离心率的取值范围为 .
【解析1】因为在中,由正弦定理得
那么由,得,即
设点由焦点半径公式,得那么
记得由椭圆的几何性质知,整理得
解得,故椭圆的离心率
【解析2】 由解析1知由椭圆的定义知
,由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.
【答案】
〔3〕〔2023四川卷理〕直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是〔 〕
A.2 B.3 C. D.
【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,综合题。
【解析1】直线为抛物线的准线,由抛物线的定义知,P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离,故此题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小,最小值为到直线的距离,即,应选择A。
【解析2】如图,由题意可知
【答案】A
点评:由△PAF成立的条件,再延伸到特殊情形P、A、F共线,从而得出这一关键结论.
例4.〔1〕〔2023江苏卷〕〔此题总分值10分〕
在平面直角坐标系中,抛物线C的顶点在原点,经过点A〔2,2〕,其焦点F在轴上。
〔1〕求抛物线C的标准方程;
〔2〕求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;
〔3〕设过点的直线交抛物线C于D、E两点,ME=2DM,记D和E两点间的距离为,求关于的表达式。
〔2〕(2023山东卷文)〔本小题总分值14分〕
设,在平面直角坐标系中,向量,向量,,动点的轨迹为E.
〔1〕求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
〔2〕,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3),设直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值并求最大值.
解〔1〕因为,,,
所以, 即.
当m=0时,方程表示两直线,方程为;
当时, 方程表示的是圆
当且时,方程表示的是椭圆;
当时,方程表示的是双曲线.
(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
那么使△=,
即,即, 且
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,, 所求的圆为.
当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.
综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A1, 由〔2〕知, 即 ①,
因为与轨迹E只有一个公共点B1,
由〔2〕知得,
即有唯一解
那么△=, 即, ②
由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,
由 中,所以,,
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,
在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即
当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.
【命题立意】:此题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.
题型3:证明问题和对称问题
例5.〔1〕如图,椭圆=1〔a>b>0〕与过点A〔2,0〕B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF的中点,求证:∠ATM=∠AFT。
解 (1)由题意:
,解得,所求椭圆方程为
〔2〕〔2023天津卷文〕〔本小题总分值14分〕
椭圆〔〕的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交于点A,B两点,且
〔Ⅰ求椭圆的离心率;
〔Ⅱ〕直线AB的斜率;
〔Ⅲ〕设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上,求的值。
解 〔1〕由,得,从而
,整理得,故离心率
〔2〕由〔1〕知,,所以椭圆的方程可以写为
设直线AB的方程为即
由设那么它们的坐标满足方程组
消去y整理,得
依题意,
而,有题设知,点B为线段AE的中点,
所以
联立三式,解得,将结果代入韦达定理中解得.
(3)由〔2〕知,,当时,得A由得
线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为
直线的方程为,于是点满足方程组
由,解得,故