2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案平面的性质直线的位置关系高中数学.docx

第九章 直线、平面、简单几何体 知识结构网络 9．1 平面的性质与直线的位置关系 一、明确复习目标 1．掌握平面的根本性质，会运用这些性质解决有关共面、共线、共点、交线等问题. 2．掌握空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，能证明和判断两条直线是异面直线.能用图形表示两条直线的位置关系，会解决与位置关系有关的问题. 3．能进行简单的文字、符号、图形三者之间的转化. 二．建构知识网络 〔一〕平面的概念和性质 1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸. 2．空间点、线、面的位置关系及表示：要正确运用以下符号： 点A,B,C,…;直线 a,b,c,…;平面α,β,γ… ,,,,,,a∥b,a⊥b,a∥α,a⊥β, α⊥β, α//β, α⊥β, α∩β=a 3．平面的根本性质 公理1.线的在平面内. 用途：判定直线在平面内，验证是否平面． 公理2两个平面的交线. 用途：①确定两相交平面的交线；②判定点在直线上. 公理3及其三个推论: 确定平面的条件. 注意“确定〞即“有且只有一个〞的含义． 4．所有点都在一个平面内的图形称为平面图形，否那么称为空间图形. 〔二〕空间两条直线 1．空间两直线的位置关系有： 〔1〕相交； 〔2〕平行； 〔3〕异面.定义—— 2 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3 等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等. 推论:两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的角相等. 4 空间两条异面直线:不同在任何全个平面内. 判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线. 5．异面直线所成的角的求法： 找(或)作出过一条直线上一点,于另一直线平直线;或过空间一点与两条直线平行的直线,转化为平面内的角,再用平面几何的方法去求;也可用向量法. 注意:两条直线所成的角的范围:. 两条异面直线所成的角的范围:. 6 两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直且相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线. 理解：和异面直线都垂直的直线有无数条，公垂线只有一条. 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段〔公垂线段〕的长度，叫做两条异面直线间的距离． 计算方法：①几何法；②向量法 三、双基题目练练手 1. 三点确定一个平面的条件是___________； 共点的四条直线最多可以确定_______平面； 互不相交的三条直线可以确定_______平面. 2. 判断以下命题真假 〔1〕四边相等且有一个内角是直角的四边形是正方形； 〔 〕 〔2〕四点不共面，那么其中任意三点不共线； 〔 〕 〔3〕“平面不经过直线〞的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内〞 ( ) 〔4〕两个平面有三个共公点，那么这两个平面重合； 〔 〕 〔5〕三个平面可以把空间分成四、六、七、八个局部； 〔 〕 〔6〕过直线外一点向直线引垂线，有且只有一条； 〔 〕 〔7〕异面直线a与c、b与c所成的角相等，那么a与b平行或异面 〔 〕 〔8〕过空间任一点一定可以作一条直线与两条异面直线都相交. 〔 〕 3．〔2023福建〕对平面和共面的直线、以下命题中真命题是 ( ) 〔A〕假设那么　 〔B〕假设那么 〔C〕假设那么　 〔D〕假设、与所成的角相等，那么 4. 直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有〔 〕 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5．以下各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，那么PQ与SR一定是异面直线的是 6．画出上题图B中平面PQR与下底面的交线. ◆答案提示： 1．不共线；六个； 0个、一个或三个. 2． ´；Ö；Ö；´；Ö；´；´；´. 3.C； 4.C 5.C 四、经典例题做一做 【例1】用图形表示：a∩b=m,aÌa,bÌb,a∩m=A,b∩m=B,c∩a=P,PÏa,cËb. 图略 思悟提炼：熟悉图形语言、符号语言之间的互化.提高画图能力. 【例2】P是正方体ABCD-A1B1C1D1上一点,(不是端点),求证:过P点有且只有一条直线与直线BC、C1D1相交. 证明：依题设，平面BCP与直线C1D1 有且只有一个交点，设为Q，过两点Q、P有且只有一条直线，且与BC必相交. P B1 C1 _ D1 A1 D C B A R Q 思悟提炼：1.线面相交,有且只有一个交点.一个平面内的直线不平行就相交. 【例3】〔1〕三条直线a,b,c互相平行，且都与直线m相交，求证：这四条直线共面； 〔2〕在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P,Q,R,S是棱的中点， 求证：MNPQRS是正六边形. 证明: (1)设a,m确定平面α再证b, c在α内. (2)证SR//MQ//NP,且都与RN相交. O _ S R Q P N M D C D1 C1 B1 A1 B A 思悟提炼:证明点或线共面的方法：—— 【例4】如图，DABC和DA¢B¢C¢不共面，直线AA¢、BB¢、CC¢两两相交. (1)求证：这三条直线AA¢、BB¢、CC¢交于一点； (2) 假设直线AB和A¢B¢、BC和B¢C¢、CA和C¢A¢分别交于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线. A B C A¢ B¢ C¢ P Q R S 思悟提炼：用平面的根本性质证明空间三点共线、三线共点的方法. 【例5】 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b，求： （1） 以下异面直线之间的距离： AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C. 〔2〕异面直线D1B与AC所成角的余弦值. A A B B C C D D 1 1 1 1 E F O 解〔1〕：BC为异面直线AB与CC1的公垂线段，故AB与CC1的距离为b. AA1为异面直线AB与A1C1的公垂线段，故AB与A1C1的距离为c. 过B作BE⊥B1C，垂足为E，那么BE为异面直线AB与B1C的公垂线，BE==，即为所求. 〔2〕解法一：连结BD交AC于点O，取DD1的中点F，连结OF、AF，那么OF∥D1B，∴∠AOF就是异面直线D1B与AC所成的角. ∵ AO=，OF= BD1=，AF=， ∴ 在△AOF中， cos∠AOF= = 解法二:补图形如下,在ΔBGD1中,∠GBD1为所求角的补角—— 五．提炼总结以为师 同步练习 9.1平面的性质与直线的位置关系 【选择题】 1．以下四个命题： 〔1〕分别在两个平面内的两条直线是异面直线 〔2〕和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 〔3〕和两条异面直线都相交的两条直线必异面 〔4〕假设与是异面直线，与是异面直线，那么与也异面 其中真命题个数为 〔 〕 A.3 B.2 C.1 D.0 2．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，那么直线与所成的角为 〔 〕 A.300 B.450 C.600 D.900 3．AB、CD在平面α内，AB//CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面α外，EF//AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面α相距15厘米，那么EF与CD的距离为 〔 〕 A.25厘米 B.39厘米 C.25或39厘米 D.15厘米 4．直线a，如果直线b同时满足条件： ①a、b异面②a、b所成的角为定值 ③a、b间的距离为定值，那么这样的直线b有 A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条 〔 〕 【填空题】 5.互不重合的三个平面的交线可能有__________条. 6.a∥c，b与c不平行、 a与b不相交，a,b的位置关系是 7．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为__________． 8．两条异面直线、间的距离是1cm，它们所成的角为600，、上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，那么A、B两点间的距离为_______________． ◆答案提示：1-4. DCCD 5.0、1、2、3四种. 6.异面直线. 7.; 8. . 【解答题】 A B C D E F 9.正四面体ABCD中，BC的中点为E，AD的中点为F，连AE、CF.〔1〕判断AE、CF的位置关系；〔2〕求AE与CF所成的角的余弦. 答案： 10.(2023上海春)在长方体中，，求异面直线与所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕. 解：连接，那么为异面直线与所成的角.在△中， . 异面直线所成的角为. 11.如以以下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3. 求证：EF、GH、BD交于一点. 证明：连结GE、HF， ∵E、G分别为BC、AB的中点， ∴GE∥AC. 又∵DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3， ∴HF∥AC.∴GE∥HF.故G、E、F、H四点共面. 又∵EF与GH不能平行，∴EF与GH相交，设交点为O. 那么O∈面ABD，O∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD.∴EF、GH、BD交于一点. 【探索题】设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且=== .试求的值. 【探索题】解：依题意，因为AA1、BB1、CC1相交于一点O，且==，所以AB∥A1B1， AC∥A1C1，BC∥B1C1.由平移角定理得 ∠BAC=∠B1A1C1，∠ABC=∠A1B1C1，△ABC∽△A1B1C1，所以=〔〕2=.