2023年高三数学14分突破一轮复习必备精品11高中数学.docx

第十一章简 易 逻 辑 考纲导读 1．理解逻辑联结词“或〞、“且〞、“非〞的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． 2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力． 简易逻辑性 命题 逻 辑 联 结 词 简单命题与复合命题 四种命题及其关系 充分必要条件 知识网络 高考导航 1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，那么只会是中低档题． 2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现． 第1课时 逻辑联结词和四种命题 根底过关 一、逻辑联结词 1． 可以 的语句叫做命题．命题由 两局部构成； 命题有 之分；数学中的定义、公理、定理等都是 命题． 2．逻辑联结词有 ，不含 的命题是简单命题． 由 的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种： ，(其中p，q都是简单命题)． 3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p〞形式的复合命题真假与p的 当p与q都真时，p且q形式的复合命题 ，其他情形 ；当p与q都 时，“p或q〞复合形式的命题为假，其他情形 ． 二、四种命题 1．四种命题：原命题：假设p那么q；逆命题： 、否命题： 逆否命题： . 2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题 、否命题 、逆否命题 ．原命题与它的逆否命题同 、否命题与逆命题同 ． 3．反证法：欲证“假设p那么q〞为真命题，从否认其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法． 典型例题 例1. 以下各组命题中，满足“p或q〞为真，“p且q〞为假，“非p〞为真的是 〔 〕 A．p:0＝；q:0∈ B．p：在ABC中，假设cos2A＝cos2B，那么A＝B； y＝sinx在第一象限是增函数 C．；不等式的解集为 D．p：圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是x＝4 解：由条件，知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假，排除；选项(B)中， 命题p真而命题q假，排除；选项(D)中，命题p和命题q都为真，排除；应选(C)． 变式训练1：如果命题“p或q〞是真命题，“p且q〞是假命题.那么〔 〕 A．命题p和命题q都是假命题 B．命题p和命题q都是真命题 C．命题p和命题“非q〞真值不同 D．命题q和命题p的真值不同 解： D 例2. 分别写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假: (1) 假设q<1，那么方程x2＋2x＋q＝0有实根； (2) 假设ab＝0，那么a＝0或b＝0； (3) 假设x2＋y2＝0，那么x、y全为零. 解：(1)逆命题：假设方程x2＋2x＋q＝0有实根，那么q＜1，为假命题．否命题：假设q≥1，那么方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：假设方程x2＋2x＋q＝0无实根，那么q≥1，为真命题． (2)逆命题：假设a＝0或b＝0，那么ab＝0，为真命题． 否命题：假设ab≠0，那么a≠0且b≠0，为真命题． 逆否命题：假设a≠0且b≠0，那么ab≠0，为真命题． (3)逆命题：假设x、y全为零，那么x2＋y2＝0，为真命题． 否命题：假设x2＋y2≠0，那么x、y不全为零，为真命题． 逆否命题：假设x、y不全为零，那么x2＋y2≠0，为真命题． 变式训练2：写出以下命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假： 〔1〕如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等； 〔2〕矩形的对角线互相平分且相等； 〔3〕相似三角形一定是全等三角形. 解：〔1〕否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等〞. 原命题为真命题，否命题也为真命题. 〔2〕否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等〞 原命题是真命题，否命题是假命题. 〔3〕否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形〞. 原命题是假命题，否命题是真命题. 例3. p：有两个不等的负根，q：无实根．假设p或q为真，p且q为假，求m的取值范围． 分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真〞或“p真且q假〞.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论． 解：p：有两个不等的负根． q：无实根． 因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反． (ⅰ) 当p真且q假时，有； (ⅱ) 当p假且q真时，有． 综合，得的取值范围是{或}． 变式训练3：a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,假设p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围. 解 ： 由函数y=ax在R上单调递减知0<a<1，所以命题p为真命题时a的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|, 那么y=不等式x+|x-2a|>1的解集为R，只要ymin>1即可，而函数y在R上的最小值为2a，所以2a>1，即a>即q真a>假设p真q假,那么0<a≤假设p假q真，那么a≥1,所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0<a≤或a≥1. 例4. 假设a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋．求证：a、b、c中至少有一个大于0． 证明：假设都不大于0，即 ，那么 而 ＝ ，． 相矛盾．因此中至少有一个大于0． 变式训练4：以下三个方程：①x2＋4ax－4a＋3＝0，②x2＋(a－1)x＋a2＝0，③x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围. 解：设的三个方程都没有实根． 那么 解得． 小结归纳 故所求a的取值范围是a≥－1或a≤－． 1．有关“p或q〞与“p且q〞形式的复合命题语句中，字面上未出现“或〞与“且〞字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p或q〞还是“p且q〞形式． 2．当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法． 3．反证法的第一步为否认结论，需要掌握常用词语的否认〔如“至少〞等〕，而且推理过程中，一定要把否认的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：〔1〕假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；〔2〕从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；〔3〕由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确． 第2课时 充要条件 根底过关 1．充分条件：如果那么p叫做q的 条件，q叫做p的 条件． 2．必要条件：如果那么p叫做q的 条件，q叫做p的 条件． 3．充要条件：如果且那么p叫做q的 条件． 典型例题 例1．在以下各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由． 1． A：，B：方程有实根； 2． A：，B：； 3．A：；B：； 4．A：圆与直线相切，B： 分析：要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可． 解：(1) 当，取，那么方程无实根；假设方程有实根，那么由推出或6，由此可推出．所以A是B的必要非充分条件． (2)假设那么 所以成立 假设成立 取，知不一定成立， 故A是B的充分不必要条件． (3) 由，由解得，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件． (4) 直线与圆相切圆(0，0)到直线的距离，即＝＝.所以A是B的充要条件. 变式训练1：指出以下命题中，p是q的什么条件〔在“充分不必要条件〞、“必要不充分条件〞、“充要条件〞、“既不充分也不必要条件〞中选出一种作答〕. 〔1〕在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB； 〔2〕对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6; 〔3〕非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B； 〔4〕x、y∈R，p：〔x-1〕2+〔y-2〕2=0，q：〔x-1〕〔y-2〕=0. 解： 〔1〕在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，假设sinA=sinB，因为A与B不可能互补〔因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件. (2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件. (3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, 所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件. 例2. p：－2＜m＜0，0＜n＜1；q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件. 解：假设方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1、x2． 那么0＜x1＜1、0＜x2＜1，∵x1＋x2＝－m，x1x2＝n ∴0＜－m＜2，0＜n＜1 ∴－2＜m＜0，0＜n＜1 ∴p是q的必要条件． 又假设－2＜m＜0，0＜n＜1，不妨设m＝－1，n＝． 那么方程为x2－x＋＝0，∵△＝(－1)2－4×＝－1＜0． ∴方程无实根 ∴p是q的非充分条件． 综上所述，p是q的必要非充分条件． 变式训练2：证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明：充分性：假设ac<0,那么b2-4ac>0,且<0, ∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：假设一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，那么=b2-4ac>0,x1x2=<0,∴ac<0. 综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 例3. p： |1－|≤2，q：:x2－2x+1－m2≤0(m>0)，假设是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围. 解： 由题意知：命题：假设┒p是┑q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件. p: |1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10 q: x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0x ∵p是q的充分不必要条件， ∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x＋1－m2≤0(m>0)解集的子集 又∵m>0，∴不等式x的解集为1－m≤x≤1＋m ∴，∴m≥9， ∴实数m的取值范围是［9，+∞ 变式训练3：集合和集合，求a的一个取值范围，使它成为的一个必要不充分条件. 解：， 由 所以是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一. 例4. “函数y＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴的上方〞，这