2023年创新方案高考数学复习精编人教新课标38正弦定理和余弦定理应用举例doc高中数学.docx

第三章 第八节 正弦定理和余弦定理应用举例 题组一 距 离 问 题 1.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，那么这只船航行的速度为 (　　) A.海里/时 B．34海里/时 C.海里/时 D．34海里/时 解析：如图．由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°. 在△PMN中，由正弦定理，得 ， ∴MN=68×=34. 又由M到N所用时间为14-10=4小时， ∴船的航行速度v= (海里/时)． 答案：A 2．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km. 解析：如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30 km. 答案：30 3．如下列图，为了测量河对岸A，B两点间的距离， 在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°， ∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长． 解：在△ACD中，CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a. ① 在△BCD中，由正弦定理可得 BC＝＝a. ② 在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°， 所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为 AB＝＝a. 题组二 高 度 问 题 4.据新华社报道，强台风“珍珠〞在广东饶平登陆．台风中心最大风力到达12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，那么折断点与树干底部的距离是 (　　) A.米 B．10米 C.米 D．20米 解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A， 那么∠ABO=45°，∠AOB=75°， ∴∠OAB=60°. 由正弦定理知，，∴AO= (米)． 答案：A 5．在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 m，又测得塔顶的仰角为4θ，那么塔的高度为________． 解析：如图，依题意有PB=BA=30，PC=BC=.在三角形BPC中，由余弦定理可得 cos2θ= =，所以2θ=30°，4θ=60°，在三角形PCD中， 可得PD=PC·sin4θ=10·=15(m)． 答案：15 m 6．某人在山顶观察地面上相距2 500 m的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得B在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)． 解：画出示意图(如下列图) 设山高PQ=h，那么△APQ、△BPQ均为直角三角形， 在图(1)中，∠PAQ=30°，∠PBQ=45°. ∴AQ=，BQ==h. 在图(2)中， ∠AQB=57°+78°=135°，AB=2 500， 所以由余弦定理得： AB2=AQ2+BQ2-2AQ·BQcos∠AQB， 即2 5002=(h)2+h2-2h·h·cos135°=(4+)h2， ∴h=≈984.4(m)． 答：山高约984.4 m. 题组三 角 度 问 题 7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于 (　　) A．120° B．105° C．90° D．75° 解析：∵c＝a，∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝(sinC＋cosC)， 即sinC＝－cosC.∴tanC＝－.又C∈(0,180°)， ∴C＝120°. 答案：A 8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形状为 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大． 而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，那么为锐角，那么它为锐角三角形． 答案：A 题组四 正、余弦定理的综合应用 9.有一山坡，坡角为30°，假设某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，那么此人行走的路程为 (　　) A．300 m B．400 m C．200 m D．200 m 解析：如图，AD为山坡底线，AB为行走路线，BC垂直水平面． 那么BC=100，∠BDC=30°，∠BAD=30°， ∴BD=200，AB=2BD=400 米． 答案：B 10．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，那么运动开始________h后，两车的距离最小．解析：如下列图：设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，那么AD=80t，BE=50t. 因为AB=200，所以BD=200-80t， 问题就是求DE最小时t的值． 由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60° =(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t =12900t2-42022t+40000. 当t=时DE最小． 答案： 11．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2， 在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值． 解：因为CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∴∠OCP＝120°. 在△POC中，由正弦定理得 ＝，∴＝，所以CP＝sinθ. 又＝，∴OC＝sin(60°－θ)． 因此△POC的面积为 S(θ)＝CP·OCsin120°＝·sinθ·sin(60°－θ)× ＝sinθsin(60°－θ)＝sinθ(cosθ－sinθ) ＝[cos(2θ－60°)－]，θ∈(0°，60°)． 所以当θ＝30°时，S(θ)取得最大值为. 12．(2023·宁波模拟)某建筑的金属支架如下列图，根据要求 AB至少长2.8 m，C为AB的中点，B到D的距离比CD 的长小0.5 m，∠BCD＝60°，建造支架的材料每米 的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个 支架的本钱最低？ 解：设BC＝am(a≥1.4)，CD＝bm，连接BD. 那么在△CDB中，(b－)2＝b2＋a2－2abcos60°. ∴b＝. ∴b＋2a＝＋2a. 设t＝a－1，t≥－1＝0.4， 那么b＋2a＝＋2(t＋1)＝3t＋＋4≥7， 等号成立时t＝0.5＞0.4，a＝1.5，b＝4. 答：当AB＝3 m，CD＝4 m时，建造这个支架的本钱最低．