2023年高考数学一轮复习第二章第8节幂函数与二次函数高中数学.docx

第二章 第八节 幂函数与二次函数 题组一 幂函数问题 1.幂函数f(x)＝xα的局部对应值如下表： x 1 f(x) 1 那么不等式f(|x|)≤2的解集是 (　　) A.{x|－4≤x≤4} B.{x|0≤x≤4} C.{x|－≤x≤} D.{x|0＜x≤} 解析：由表知＝()α，∴α＝，∴f(x)＝. ∴≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4. 答案：A 2.函数y＝(n∈N，n>2)的图象的大致形状是 (　　) 解析：由n>2知－<0， ∴x≠0，且图象在第一象限内为减函数. 答案：A 3.比拟以下各组值的大小： (1)和－； (2) 、〔〕 (3)0.20.5和0.40.3. 解：比拟幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值. (1)由于幂函数在(0，＋∞)上是减函数， 所以，因此 ， 即 (2)由于 因此 (3)由于指数函数y＝0.2x在R上是减函数， 所以0.20.5<0.20.3， 又由于幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数， 所以0.20.3<0.40.3，故有0.20.5<0.40.3. 题组二 二次函数的解析式 4.函数f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f (－x)，那么以下不等式中成立的是 (　　) A.f(－2)＜f(0)＜f(2) B.f(0)＜f (－2)＜f (2) C. f (0)＜f (2)＜f (－2) D. f (2)＜f (0)＜f (－2) 解析：∵f (1＋x)＝f(－x)， ∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x 2－b x＋c， ∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c， ∴2＋b＝－b，即b＝－1， ∴f(x)＝x 2－x＋c，其图象的对称轴为x＝， ∴f(0)＜f(2)＜f(－2). 答案：C 5.(2023·海口模拟)方程|x2－2x|＝a2＋1(a∈(0，＋∞))的解的个数是 (　　) A.1个　　　　　　　 B.2个 C.3个 D.4个 解析：∵a∈(0，＋∞)，∴a2＋1＞1，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点，∴方程有两解.应选B. 答案：B 6.二次函数f(x)的二次项系数为a，满足不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3)，且方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式. 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).∵f(x)＞－2x， ∴ax2＋bx＋c＞－2x，即ax2＋(b＋2)x＋c＞0. ∵解集为(1,3)，故 ① ② 由于f(x)＝－6a有两个相等的实根，故ax2＋bx＋c＋6a＝0中Δ＝0. ∴b2－4a(c＋6a)＝0. ③ 联立①②③，故a＝－，b＝－，c＝－， ∴f(x)＝－x2－x－. 题组三 二次函数的性质 7.函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，那么f(1)的取值范围是 (　　) A. f (1)25 B.f(1)＝25 C. f (1)25 D.f(1)＞25 解析：由题知≤－2，∴m≤－16.∴f(1)＝9－m25. 答案：A 8.(2023·天津高考)函数f(x)＝假设f(2－a2)＞f(a)，那么实数a的取值范围是 (　　) A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－1,2) C.(－2,1) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：函数f(x)＝的图象 如图. 知f(x)在R上为增函数. ∵f(2－a2)＞f(a)， 即2－a2＞a. 解得－2＜a＜1. 答案：C 9.f(x)＝x2－2x＋3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，那么m的取值范围是　　　　. 解析：假设f (x)＝3，那么x＝0或x＝2；假设f (x)＝2，那么x＝1.借助函数图象可知1≤m≤2. 答案：1≤m≤2 题组四 幂函数与二次函数的综合应用 10.(2023·福建高考)函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是 (　　) A.{1,2} B.{1,4} C.{1,2,3,4} D.{1,4,16,64} 解析：设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2. 而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－对称.而选项D中≠. 答案：D 11.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，那么a的取值范围是　　　　. 解析：当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0恒成立； 当a－2≠0时， 解之得：－2＜a＜2 ∴a的取值范围是－2＜a≤2. 答案：(－2,2] 12.设f(x)＝ax2＋bx＋c，假设6a＋2b＋c＝0，f(1)·f(3)＞0， (1)假设a＝1，求f(2)的值； (2)求证：方程f(x)＝0必有两个不等实根x1、x2，且3＜x1＋x2＜5. 解：(1)∵6a＋2b＋c＝0，a＝1， ∴f(2)＝4a＋2b＋c＝－2a＝－2. (2)证明：首先说明a≠0， ∵f(1)·f(3)＝(a＋b＋c)(9a＋3b＋c)＝－(5a＋b)(3a＋b)＞0， 假设a＝0，那么f(1)·f(3)＝－b2＜0与矛盾， ∴a≠0， 其次说明二次方程f(x)＝0必有两个不等实根x1、x2， ∵f(2)＝4a＋2b＋c＝－2a， ∴假设a＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c开口向上，而此时f(2)＜0， ∴假设a＜0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c开口向下，而此时f(2)＞0. 故二次函数图象必与x轴有两个不同交点， ∴ 二次方程f(x)＝0必有两个不等实根x1、x2， (或利用Δ＝b2－4ac＝b2＋4a(6a＋2b)＝b2＋8ab＋24a2＝(b＋4a)2＋8a2＞0来说明) ∵a≠0， ∴将不等式－(5a＋b)(3a＋b)＞0两边同除以－a2得 (＋3)(＋5)＜0， ∴－5＜＜－3. ∴3＜x1＋x2＝－＜5.