2023年高三数学14分突破一轮复习必备精品9高中数学.docx

考纲导读 第九章数列 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题． 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． 知识网络 高考导航 纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点． 从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二〞问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用． 第1课时 数列的概念 根底过关 1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数Nx或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第 项． 2．数列的通项公式 一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为： 4．求数列的通项公式的其它方法 ⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法． ⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式 典型例题 例1. 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴ －，，－，…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3， 解： ⑴ an＝(－1)n ⑵ an＝ 〔提示：a2－a1＝1，a3－a2＝4，a4－a3＝7，a5－a4＝10，…，an－an－1＝1＋3(n－2)=3n－5．各式相加得 ⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为 ∴ 变式训练1.某数列{an}的前四项为0，，0，，那么以下各式： ① an＝[1＋(－1)n] ② an＝ ③ an＝ 其中可作为{an}的通项公式的是 〔 〕 A．① B．①② C．②③ D．①②③ 解：D 例2. 数列{an}的前n项和Sn，求通项． ⑴ Sn＝3n－2 ⑵ Sn＝n2＋3n＋1 解 ⑴ an＝Sn－Sn－1 (n≥2) a1＝S1 解得：an＝ ⑵ an＝ 变式训练2：数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈Nx)，那么数列{an}的通项公式为 ． 解：当n＝1时，a1＝S1＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－10n－1＝9·10 n－1．故an＝ 例3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式． ⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2) ⑵ a1＝1，an＝ (n≥2) ⑶ a1＝1，an＝ (n≥2) 解：⑴ an＝2an－1＋1(an＋1)＝2(an－1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n，∴an＝2n－1． ⑵an＝〔an－an－1〕＋〔an－1－an－2〕＋…＋〔a3－a2〕＋〔a2－a1〕＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋33＋3＋1＝． (3)∵ ∴an＝ 变式训练3.数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈Nx)，求该数列的通项公式． 解：方法一：由an＋1＝得 ，∴{}是以为首项，为公差的等差数列． ∴＝1＋(n－1)·,即an＝ 方法二：求出前5项，归纳猜测出an＝，然后用数学归纳证明． 例4. 函数＝2x－2－x，数列{an}满足＝－2n，求数列{an}通项公式． 解： 得 变式训练4.知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5〔n∈Nx〕． (1) 证明数列{an＋1}是等比数列； (2) 令f (x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f (x)在点x＝1处导数f 1 (1)． 解：(1) 由Sn＋1＝2Sn＋n＋5，∴ n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减，得： Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1 从而an＋1＋1＝2(an＋1) 当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴ a1＋a2＝2a1＋6, 又a1＝5，∴ a2＝11 ∴ ＝2，即{an＋1}是以a1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列. (2) 由(1)知an＝3×2n－1 ∵ ＝a1x＋a2x2＋…＋anxn ∴ ＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1 从而＝a1＋2a2＋…＋nan ＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1) ＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n) ＝3[n×2n＋1－(2＋…＋2n)]－ ＝3(n－1)·2n＋1－＋6 归纳小结 1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等 2．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一． 3．由递推公式求通项公式的常见形式有：an＋1－an＝f(n)，＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分别用累加法、累乘法、迭代法〔或换元法〕． 第2课时 等差数列 根底过关 1．等差数列的定义： － ＝d〔d为常数〕． 2．等差数列的通项公式： ⑴ an＝a1＋ ×d ⑵ an＝am＋ ×d 3．等差数列的前n项和公式： Sn＝ ＝ ． 4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，那么b叫做a与c的等差中项，即b＝ ． 5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是： ⑴ 数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p, q∈R) ⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn (a, b∈R) 6．等差数列{an}的两个重要性质： ⑴ m, n, p, q∈Nx，假设m＋n＝p＋q，那么 ． ⑵ 数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列． 典型例题 例1. 在等差数列{an}中， (1)a15＝10，a45＝90，求a60； (2)S12＝84，S20＝460，求S28； (3)a6＝10，S5＝5，求a8和S8． 解：(1)方法一： ∴a60＝a1＋59d＝130． 方法二：，由an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130． (2)不妨设Sn＝An2＋Bn， ∴ ∴Sn＝2n2－17n ∴S28＝2×282－17×28＝1092 (3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15， 又S6＝ ∴15＝即a1＝－5 而d＝ ∴a8＝a6＋2 d＝16 S8＝ 变式训练1.在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，那么a4＋a5＋…＋a10＝ ． 解：∵d＝a6－a5＝－5， ∴a4＋a5＋…＋a10＝ 例2. 数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－〔n≥2〕．其中a是不为0的常数，令bn＝． ⑴ 求证：数列{bn}是等差数列． ⑵ 求数列{an}的通项公式． 解：∵ ⑴ an＝2a－ (n≥2) ∴ bn＝ (n≥2) ∴ bn－bn－1＝ (n≥2) ∴ 数列{bn}是公差为的等差数列． ⑵ ∵ b1＝＝ 故由⑴得：bn＝＋(n－1)×＝ 即：＝ 得：an＝a(1＋) 变式训练2.公比为3的等比数列与数列满足，且， 〔1〕判断是何种数列，并给出证明； 〔2〕假设，求数列的前n项和 解：1〕，即 为等差数列。 〔2〕。 例3. {an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}前n项和。求Tn． 解：设{an}首项为a1公差为d，由 ∴ Sn＝ ∴ ∴Tn＝ 变式训练3．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，那么的值是 〔 〕 A． B． C． D． 解：B 解析：。 例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问： ⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？ ⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ ⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元． 问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？ 解：⑴ 设工作年数为n〔n∈Nx〕，第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．那么： S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n ＝500(n＋1)n S2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n ＝300(2n＋1)n 由S2>S1，即：300(2n＋1)n>500(n＋1)n 解得：n>2 ∴ 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多． ⑵ 当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000 S2＝300×10×21＝63000 ∴ S2－S1＝8000 ∴ 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元． ⑶ 假设第二种方案中的300美元改成a美元． 那么＝an(2n＋1) n∈Nx ∴ a＞＝250＋≥250＋ ＝ 变式训练4.假设某市2023年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的假设干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2023年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米 (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85% 解：(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中a1=250,d=50,那么Sn=250n+=25n2+225n, 令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10. 到2023年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列, 其中b1=400,q=1.08,那么bn=400·(1.08)n-1·0.85. 由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. 到2023年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 归纳小结 1．欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：an＋1－a