2023年高考数学立体几何专题复习人教版.docx

立体几何复习专题 一、考情分析 综观近年高考对立体几何的考查，主要表达了三个特点：1.以选择、填空考查根底知识，如线面关系的判断、体积与面积的计算等，难度中等偏易，分值5～10分左右；2.以解答题的形式考查综合问题，如空间平行与垂直的论证，空间角和距离的求解等，分值为12分；3.无论是大题还是小题，其载体多为棱柱、棱锥、球组合而成的多面体，问题的情境为动态或静态的，背景为综合或交叉的，解题方法是多样化的，重视了传统方法和向量方法的有机结合，相得益彰. 二、考题精讲 考点１ 直线与平面 该问题主要考查空间中的线线、线面、面面之间的位置关系的判断与证明，以及空间想象能力. 例１ 设直线与平面相交但不垂直，那么以下说法中正确的选项是〔 〕 A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直 B．过直线有且只有一个平面与平面垂直 C．与直线垂直的直线不可能与平面平行 D．与直线平行的平面不可能与平面垂直 解：在这里我们通过观察正方体ABCD-A1B1C1D1进行判断，取BC1为直线，平面ABCD为平面，由AB、CD均与垂直知选项A错；由D1C1与垂直且与平行知选项C错；由平面ADD1A1与平行且与垂直知选项D错，应选B. 点评：在解此题时，我们通过借助具体的几何模型进行直观的思考，对于假命题举出反例即可，防止了抽象的空间现象与推理. 考点２简单几何体 该问题主要涉及到简单几何体的性质以及其面积与体积的求法〔包括球的性质、球的面积与体积、球面距离等〕. 例２ 假设三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，那么该棱柱的体积等于( B ) Ａ　　 Ｂ 　　 Ｃ　　 Ｄ 解：如图在三棱柱中，设，由条件有，作于点， 那么， ∴ ∴， ∴，应选B. 点评：此题具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键. 考点３ 空间距离与角 该问题主要考查三类角〔线线角、线面角、二面角〕，五种距离〔点线距、点面距、线面距、线线距、面面距〕，有关立体几何的解答题中都有此局部的内容. 例３ 如图，为平面，，，AB=5，A、B在棱L上的射影分别为A′、B′，AA′＝3，BB′的大小为， 求：⑴点B到平面的距离；⑵异面直线L与AB所成的角〔用反三角函数表示〕. A B L 解：⑴如图，过点B′作直线B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D.∵AA′⊥L，∴DB′⊥L，又BB′⊥L，∴L⊥平面BB′D，∴BD⊥L.又∵BD⊥CB′，∴BD⊥平面α,∴BD的长即为点B到平面的距离.∵B′C⊥L且BB′⊥L，∴∠BB′C为二面角α-L-β的平面角，∴∠BB′C=.在Rt△BB′D中，=2,∠BB′D=π-∠BB′C=，∴BD=BB′·sinBB′D=. A B L C D ⑵连接AC、BC.∵B′C∥A′A，B′C=A′A，AA′⊥L，∴A′ACB′为矩形，∴AC∥L，∴∠BAC或其补角为异面直线L与AB△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，由余弦定理，BC=.因BD平面，且DCCA，由三垂线定理得ACBC，∴在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=.∴异面直线L与AB所成的角为arcsin. 点评：此题考查了立几中的点面距、线线角、二面角等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，解题的关键是线面平行、三垂线定理等根底知识的运用. 考点４ 立体几何综合问题 此类问题常以某种几何图形为载体，考查点、线、面的位置关系，求角和距离，求体积、面积和探究有关量的定值、最值问题等. A B C D E F P Q H G 例5 如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b〔0<b<1〕，截面PQEF∥，截面PQGH∥． ⑴证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直； ⑵证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值， 并求出这个值； ⑶假设，求与平面PQEF所成角的正弦值． 解：以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz．由得，故，，，，，，， ，，． A B C D E F P Q H y x z G ⑴在所建立的坐标系中，可得，，． ∵，∴是平面PQEF的法向量．∵，∴是平面PQGH的法向量．∵，∴，∴平面PQEF和平面PQGH互相垂直． ⑵∵，∴，又，∴PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．在所建立的坐标系中可求得，，∴，又，∴截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值． ⑶由⑴知是平面的法向量．由为中点可知，分别为，，的中点．∴，，因此与平面所成角的正弦值等于. 点评：此题可用传统的立体几何演绎法求解，但本解运用了空间向量法，使问题更易解决，解题时要注意选择适当的方法. 三、考题速解 例1 如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，假设，那么〔 〕 A B a b l A． B． C． D． 解：由勾股定理，又，.由于，,而，所以，得，应选D. 点评：将点、线、面的特殊位置关系集中到直角三角形中，问题便看迎刃而解！ 例2 如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体外表相交于．设，，那么函数的图象大致是〔 〕 A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A． O y x B． O y x C． O y x D． O 解：连结AC、A1C1那么MN∥AC∥A1C1，当且仅当P为BD1的中点Q时，MN=AC取得最大值，应选项A、C错，令Q为BD1中点，又当P为BQ中点时，MN=AC，应选项D错，所以选B. 点评：此题是一道动态立体几何问题，抓住变化中的不变量，发现特殊中点Q排除选项. 四、考题预测 预计11年立体几何在高考中仍将重点考查空间线、面关系的判定，空间角与距离的计算，球面距离及多面体外接球面积、体积的计算，立体几何与其他知识综合交汇性问题等. 例1如图，在正方体中，给出以下四个命题： ①点在直线上运动时，三棱锥的体积不变； ②点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变； ③点在直线上运动时，二面角的大小不变； ④点是平面上到点和距离相等的点，那么点的轨迹是过点的直线. 其中真命题的编号是______________.〔写出所有真命题的编号〕 解：∴平面，∴当点在直线上运动时，点到平面的距离不变，∴三棱锥的体积不变，所以命题①正确；当点在直线上运动时，点到平面的距离不变，但的长度变化，∴直线与平面所成的角的大小变化，所以命题②不正确；当点在直线上运动时，点到平面的距离不变且点到直线的距离也不变，∴二面角的大小不变，所以命题③正确；点到点和点的距离相等，∴和在平面上的射影也相等，∴点在平面上的射影为点，∴点的轨迹是直线，所以命题④①③④. 点评：此题给出多个命题，要答题者对每个备选命题判断其真伪性，填写满足要求的命题序号. 这是近年出现的创新题型，望关注. 五、冲刺训练 1. 在正方体中，分别为棱，的中点，那么在空间中与三条直线，，都相交的直线〔 〕 A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条 2. 平面α⊥平面β，α∩β= l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，那么以下四种位置关系中，不一定成立的是〔 〕 A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β 3. 球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．假设两圆的公共弦长为2，那么两圆的圆心距等于〔 〕 A．1 B． C． D．2 4. 正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，那么该正四棱柱的体积等于_____________. 5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________. 6. 如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°,AD= ⑴求证：AE∥平面DCF； ⑵当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？ 六、复习策略 立体几何是每年高考的重点，且试题根本保持相对稳定，因此复习时要注意以下几个方面： 1.梳理定义、定理，如线面、面面平行与垂直的判定和性质定理. 2.通过典型问题掌握根本解题方法，如空间角与距离的求法，简单几何体的面积与体积的计算，与球有关的组合体等问题. 3.注意数学思想方法的运用，如转化与化归思想、等积变换、分割与补形、空间图形平面化等. 4.充分发挥空间向量的作用，通过向量的坐标运算方法去研究空间图形，从而提高解题技巧. 冲刺训练答案 1. D 提示：在EF上任意取一点M,直线与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N, 当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点的.如右图. 2. Ｄ 提示：容易判断Ａ、Ｂ、Ｃ三个答案都是正确的，对于Ｄ，虽然，但ＡＣ不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，故不一定垂直. 3. C 提示：设两圆的圆心分别为、，球心为，公共弦为AB，其中点为E，那么为矩形，于是对角线,而，∴ 4. 2 提示：如图可知：∵，∴，∴正四棱柱的体积等于2 5. 提示：∵正六边形周长为３，得边长为，故其主对角线为１，从而球的直径 ∴ ∴球的体积 6. 解：如图，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz. 设AB=a,BE=b,CF=c,那么C〔0，0，0〕，A〔 ⑴证明：∴∴CB⊥平面ABE.∵GB⊥平面DCF，∴平面ABE∥平面DCF,故AE∥平面DCF. ⑵解：∵，∴，从而,解得b＝3，c＝4．∴． 设与平面AEF垂直，那么，解得． 又∵BA⊥平面BEFC，，∴，得到,∴当AB为时，二面角A－EFC的大小为60°．