2023年从Euler公式谈谈幂指函数的自然定义域.doc

从从 EulerEuler 公式谈谈幂指函数的自然定义公式谈谈幂指函数的自然定义域域 秦玉鹏 范三妞 【摘要】针对现行教材幂指函数自然定义域尚不清晰问题，本文将实数域分为若干情形进行讨论，并借助 Euler 公式明确给出了幂指函数的自然定义域.作为应用，指出在对幂指函数施行对数求导法之前应先熟知幂指函数的自然定义域，而非直接对其施行对数求导，以确保数学之严谨性，使大一新生对幂指函数及对数求导法有一个更清晰更全面的认识.【关键词】幂指函数;自然定义域;实数域;Euler 公式;对数求导法【基金项目】河南省教科规划一般课题“新时代背景下基于 DBL 的数学创新能力培养策略研究”2019-JKGHYB-0240;河南工学院博士科研启动基金（KQ1860）.一、引 言 指数和底数都是变量的，形如 f（x）=u（x）v（x）（xE，E 是数集）（1）的函数称为幂指函数，其中 u，v 是 E 上的函数1.通常情况下，当不给出 u（x）和 v（x）的具体形式时，总要求 u（x）0（xE），此时幂指函数可改写成 从而当 u，v 连续时它连续，u，v 可导时它可导1.（2）的形式在高等数学对数求导法中起到至关重要的作用2，通常在做题时默认 u（x）0 并直接对幂指函数进行对数求导，而细心的同学会发现直接默认 u（x）0 是不合适的，因为当 u（x）显然，为了回答这个问题，必须首先弄清楚幂指函数的自然定义域，才能在此基础上判断各点的连续性，进而讨论其可导性.因此，本文的主要目的就是探析幂指函数的自然定义域，并在此基础上回答上述问题.二、预备知识 本部分我们将借助 Euler 公式将对数函数做一个简单推广.公式（3）被称为欧拉恒等式，也被理查德費曼称为“最卓越的数学公式”.本文从 Euler 公式的角度出发，不再限制对数函数 lnx 中的真数部分 x0，而将真数部分的定义推广为 x0 或 x 同理，对一般的 x0），指数 b 为任意实数;（）底数 a 为负实数（a（）底数 a=0，指数 b 为非负实数，则 ab 为实数.注意这里（m，2n-1）=1 表示 m 与 2n-1 互质.证明 我们的主要思想是通过遍历 a，b 在实数域上的所有可能情形，即先将 a在实数域上分为“正实数”，“负实数”和“0”三类情形，再将 b 在实数域上分为“正有理数”，“负有理数”，“正无理数”，“负无理数”和“0”五类情形进行分别讨论.情形 1（a0）：因为 a0 是正实数，显然，不论 b 是何种情形（正有理数，负有理数，正无理数，负无理数，或 0），ab 表示的都为实数.情形 2（a0 这一前提条件并不会影响最终的求导结果，因为 u（x）六、结 论 本文针对幂指函数在实数范围内的自然定义域问题，通过将实数域分为若干情形进行了详细讨论，明确给出了其自然定义域，如定理 2 所示.将其应用于幂指函数的对数求导法，结果表明在利用对数求导法求解此类问题时，默认幂指函数底数大于零这一前提条件虽然并不影响最终结果，但是考虑到数学的严谨性，有必要在熟知了幂指函数的自然定义域之后再进行对数求导.笔者希望通过本文的讨论，使大一新生对幂指函数和对数求导法有一个更清晰更全面的认识.【参考文献】1数学辞海总编辑委员会.数学辞海第 1 卷M.南京：东南大学出版社，2002：514-515.2同济大学数学系，高等数学（上册）：第七版M.北京：高等教育出版社，2014：101-110.