2023年高三数学一轮热身AB组32《对数函数》doc高中数学.docx

第二节 对数函数 A组 1．(2023年高考广东卷改编)假设函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，那么f(x)＝________. 解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa＝，∴f(x)＝logx.答案：logx 2．(2023年高考全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，那么a、b、c的大小关系是________． 解析：a＝log3π>1，b＝log2＝log23∈(，1)，c＝log3＝log32∈(0，)，故有a>b>c.答案：a>b>c 3．假设函数f(x)＝，那么f(log43)＝________. 解析：0<log43<1，∴f(log43)＝4log43＝3.答案：3 4．如下列图，假设函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4,2)，那么函数g(x)＝loga的图象是________． 解析：由将点(4,2)代入y＝ax－1，∴2＝a4－1，即a＝2>1. 又是单调递减的，故g(x)递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④ 5．(原创题)函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f()＝4，那么f(2023)的值为_． 解析：设F(x)＝f(x)－2，即F(x)＝alog2x＋blog3x，那么F()＝alog2＋blog3＝－(alog2x＋blog3x)＝－F(x)，∴F(2023)＝－F()＝－[f()－2]＝－2， 即f(2023)－2＝－2，故f(2023)＝0.答案：0 6．假设f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0且a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值；(2)假设f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)，求x的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a＝1，∴a＝2.又∵log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝2.∴f(x)＝x2－x＋2. ∴f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－)2＋. ∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值. (2)由题意知∴ ∴∴0<x<1. B组 1．(2023年高考北京卷改编)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点________． 解析：∵y＝lg＝lg(x＋3)－1，∴将y＝lgx的图象上的点向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋3)的图象，再将y＝lg(x＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y＝lg(x＋3)－1的图象． 答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 2．(2023年安徽黄山质检)对于函数f(x)＝lgx定义域中任意x1，x2(x1≠x2)有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③>0；④f()<.上述结论中正确结论的序号是________． 解析：由运算律f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝f(x1x2)，所以②对；因为f(x)是定义域内的增函数，所以③正确；f()＝lg，＝＝lg，∵≥，且x1≠x2，∴lg>lg，所以④错误． 答案：②③ 3．(2023年枣庄第一次质检)对任意实数a、b，定义运算“x〞如下： axb＝，那么函数f(x)＝log(3x－2)xlog2x的值域为________． 解析：在同一直角坐标系中画出y＝log(3x－2)和y＝log2x两个函数的图象， 由图象可得 f(x)＝，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0] 4．函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，假设g(a)＝1，那么实数a的值为________． 解析：由y＝f(x)与y＝ex互为反函数，得f(x)＝lnx，因为y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，故有g(x)＝－lnx，g(a)＝1⇒lna＝－1，所以a＝. 答案： 5．函数f(x)满足f()＝log2，那么f(x)的解析式是________． 解析：由log2有意义可得x>0，所以，f()＝f()，log2＝log2x，即有f()＝log2x，故f(x)＝log2＝－log2x.答案：f(x)＝－log2x，(x>0) 6．(2023年高考辽宁卷改编)假设x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，那么x1＋x2＝________. 解析：由题意2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2(x2－1)＝5，②所以2x1＝5－2x1，x1＝log2(5－2x1)，即2x1＝2log2(5－2x1)．令2x1＝7－2t，代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)，∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2，于是2x1＝7－2x2.∴x1＋x2＝.答案： 7．当x∈[n，n＋1)，(n∈N)时，f(x)＝n－2，那么方程f(x)＝log2x根的个数是________． 解析：当n＝0时，x∈[0,1)，f(x)＝－2； 当n＝1时，x∈[1,2)，f(x)＝－1； 当n＝2时，x∈[2,3)，f(x)＝0； 当n＝3时，x∈[3,4)，f(x)＝1； 当n＝4时，x∈[4,5)，f(x)＝2； 当n＝5时，x∈[5,6)，f(x)＝3.答案：2 8．(2023年福建厦门模拟)lga＋lgb＝0，那么函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________． 解析：由题知，a＝，那么f(x)＝()x＝b－x，g(x)＝－logbx，当0<b<1时，f(x)单调递增，g(x)单调递增，②正确；当b>1时，f(x)单调递减，g(x)单调递减． 答案：② 9．曲线C：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)与函数y＝log3x及函数y＝3x的图象分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x12＋x22的值为________． 解析：∵y＝log3x与y＝3x互为反函数，所以A与B两点关于y＝x对称，所以x1＝y2，y1＝x2，∴x12＋x22＝x12＋y12＝9.答案：9 10．函数f(x)＝lg(k∈R且k>0)．(1)求函数f(x)的定义域； (2)假设函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，求k的取值范围． 解：(1)由>0及k>0得>0，即(x－)(x－1)>0. ①当0<k<1时，x<1或x>；②当k＝1时，x∈R且x≠1；③当k>1时，x<或x>1.综上可得当0<k<1时，函数的定义域为(－∞，1)∪(，＋∞)； 当k≥1时，函数的定义域为(－∞，)∪(1，＋∞)． (2)∵f(x)在[10，＋∞)上是增函数，∴>0，∴k>. 又f(x)＝lg＝lg(k＋)，故对任意的x1，x2，当10≤x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，即lg(k＋)<lg(k＋)，∴<，∴(k－1)·(－)<0，又∵>，∴k－1<0，∴k<1.综上可知k∈(，1)． 11．(2023年天津和平质检)f(x)＝loga(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围． 解：(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)． (2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数． (3)假设a>1，f(x)>0，那么>1，解得0<x<1；假设0<a<1，f(x)>0，那么0<<1，解得－1<x<0. 12．函数f(x)满足f(logax)＝(x－x－1)，其中a>0且a≠1. (1)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的集合； (2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围． 解：令logax＝t(t∈R)，那么x＝at，∴f(t)＝(at－a－t)， ∴f(x)＝(ax－a－x)．∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)， ∴f(x)是R上的奇函数． 当a>1时，>0，ax是增函数，－a－x是增函数，∴f(x)是R上的增函数； 当0<a<1，<0，ax是减函数，－a－x是减函数，∴f(x)是R上的增函数． 综上所述，a>0且a≠1时，f(x)是R上的增函数． (1)由f(1－m)＋f(1－m2)<0有f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)， ∴解得m∈(1，)． (2)∵f(x)是R上的增函数，∴f(x)－4也是R上的增函数，由x<2，得f(x)<f(2)， ∴f(x)－4<f(2)－4，要使f(x)－4的值恒为负数，只需f(2)－4≤0， 即(a2－a－2)－4≤0，解得2－≤a≤2＋， ∴a的取值范围是2－≤a≤2＋且a≠1.