2023年高中数学排列组合方法精讲毒素材新人教A版选修23.docx

排 列 组 合方法 精讲 　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　——思维方法的衍生法或派生法 　　　我们在高中数学中已经学了陈列组合的根底知识了，因而大家对“陈列组合〞这概念应该不会是生疏的。宇宙中的万事万物严格地说确实是元素、分子、细胞等根本单元陈列组合的结果，如所有分子都是由原子陈列组合而成的，复杂的化学反响也是由简单的化学反响陈列组合而成的；所有生物都是由不同的细胞陈列组合而成的，可见陈列组合知识是多么的重要 !为此下面就简单介绍一下高中代数中所讲到的陈列组合的一些根底知识 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 元   素 　　 通常人们把被取的对象 (不管它是什么)叫做元素。 　　　 如假设我们研究对象为数字 (如1、2、3、4、5等)那么，这些数字也叫做元素；假设我们研究的对象为地名(如：北京、上海、广州、南京等)，那么这些地名也一样可叫做元素；假设我们研究的对象为字母(如：a、b、c、d等)，那么这些字母也可叫做元素；假设我们研究的对象为分子(如：Cl２、Br2、H2、HCl等)，那么这些分子也一样可叫做元素；假设我们研究的对象为一个人(如：张三、李四、王五等)，那么这些人也可叫做元素…… 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 排   列 　　　那么，一般地说，从 n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从几个不同元素中取m个元素的一个陈列。 　　　 例如：已经知道 a、b、c、d这四个元素，写出每次取出3个元素的所有陈列。 　　　 关于初学者能够先画以以下图来算出： 　　　 看上图 V所指的字母及第二排字母三个排成一列即可得到以下陈列(这确实是a、b、c、d这四个元素中每次取3个元素所得的所有陈列)： 　　　　　　　　　　　　 　　　 有共 24个陈列，这个数值24是能够依照乘法原理算出来的。数学中的乘法原理为：做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m2×m1×m3×……×mn种不同的方法。据此从a、b、c、d这四个元素中每次取出三个排成三位数的方法共有N＝４×３×２＝２４种。 　　　 数学中有一个陈列数公式： 　　　 从 n个不同元素中取出m(m ＜- n)个元素的所有陈列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的陈列数。用符号Pnm表示，(P是“陈列〞一词的英文Permatation的第一个字母)，在数学课本中依照乘法原理可推出陈列数的公式为：     　　　 Pmn＝n(n－１）(n－２）……(n－m＋１） 　　　 公式中的 n,m∈N,且m ≤ n 　　　 例如：从 8个元素中每次取3个元素出来陈列，所得的陈列数那么为 Ｐ38＝８×（８－１）（８－２） ＝８×７×６ ＝３３６ (种) 　　　 例如：从 8个元素中每次取5个元素出来陈列所得的陈列数为 Ｐ58＝８×（８－１）×（８－２）×（８－３）×（８－４） ＝８×７×６×５×４ ＝６７２０ 　　　 例如：从 8个元素中每次取2个元素出来陈列，所得的陈列数为 Ｐ28＝８×（８－１）＝８×７＝５６ 　　　 例如：从 8个元素中每次取4个元素出来陈列，所得的陈列数为 P48＝８×（８－１）×（８－２）×（８－３） ＝８×７×６×５ ＝１６８０ 　　　 在陈列数公式中，当 m＝n时，有： 　　　 Ｐnn＝n（n－１）（n－２）……３×２×１ 　　　 这说明， n个不同元素全部取出来陈列的陈列数等于自然数1到n的连乘积。n个不同元素，全部取出的一个陈列叫做n个不同元素的一个全陈列。自然数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n!表示，因而n个不同元素的全陈列数公式那么为： 　　　　　　 Ｐnn＝n! 　　　 前面所讲的陈列数公式可作如下变形： Ｐmn＝n（n－１）（n－２）……（n－m＋１） 　　　　　　　　　　　 　　　因而陈列数公式还可写成以下方式： 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 (留意：为了使这个公式在m＝n时也成立，我们规定0!＝1，这时Ｐnn＝n!)例如，从8个元素中全部取出来的陈列数那么为：8的阶乘。 　　 P88＝８×７×６×５×４×３×２×１ ＝４０３２０ 　　　从上述几个例子的分析可见，从 8个元素中分别取2、3、4、5、6、7、8个出来排到所得的陈列数的总和高达数万。 　　　要是我们将几个思维法进展陈列，也会得出许许多多不同思维顺序的新思维法；要是我们考虑咨询题时使用几种思维法去思维，假设这几种思维法的使用先后顺序不同，也会产生许许多多不同的思维效果。可见，陈列是一种特别重要的方法。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　组   合 　　　一般地说，从 n个不同元素中，任取m(m ≤ n)个元素出来拼成一组，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 　　　从 n个不同元素中取出m(m ≤ n)个元素的所有组合的个数，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示，C是“组合〞的英文Combination的第一个字母。 　　　例如，前面讲到的从 a、b、c、d这四个元素中取3个元素出来的陈列与组合的关系如下：组合数           陈列数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　由上分析能够看出，关于每一个组合都有 6个不同的陈列，因而，求从4个不同元素中取3个元素出来陈列的陈列数为P34，可接以下两步来考虑。 　　　 第一步：从 4个不同元素中取出3个元素作组合，共有C34＝４个组合； 　　　 第二步：对每一个组合中的 3个不同元素作全陈列，各有P33＝6个陈列。 　　　 如此，再依照乘法原理即得： 　　　P34＝Ｃ34×Ｐ33； 而从上式得： 　　　 将上述公式变成通式： 　　　一般地说，求从 n个不同元素中取出m个元素陈列的陈列数为Pmn，可按以下两步来考虑： 　　　 第一步：先求出从这 n个不同的元素中取出m个元素的组合数为Cmn； 　　　 第二步：求每一个组合中 m个不同元素的全陈列数Pmm。依照乘法原理那么得到： 　　　　　 Pmn＝Ｃmn×Ｐmm 因而而得： 即 留意：这里的 n,m∈N，且m ≤ n，这个公式就叫做组合数公式。又由于 因而上述组合数公式还能够写成： 　　　例如：从 8个元素中每次取3个元素出来组合所得的组合数为： 　　　　例如：从 4个元素中每次取3个元素出来组合所得的组合数为： 　 例如：从 8个不同元素中每次取5个元素出来组合所得的组合数为： 显见，这个组合数与前面从 8个不同元素中每取3个元素出来组合所得的组合数是相等的，即C58＝Ｃ38，同理C14＝Ｃ34、C62＝C46、C52＝C35、…… 　　　 因而有公式： Cnm＝Cn-mn(这为组合数的性质定理1) 　　　 (留意：为了使这个公式在n＝m时也成立，我们规定C0n＝１) 　　　 这是组合数的其中一个性质，此外，组合数还有另一个性质为： Cmn＋１＝Cmn＋Cm-1n(这为组合数的性质定理2)。 　　　 例如：计算 C98100和C320＋C220 　　　 解：由组合数的性质定理 1可得： 　　　而由组合数的性质定理 2可得： 　　　下面我们就详细算一算从 5个不同元素中每次分别取1、2、3、4、5种元素出来组合所得的组合数： 　　　这 5个不同元素进展不同的组合所得的组合数共为5＋１０＋１０＋５＋１＝３１我们从5种不同元素中每次分别取出1、2、3、4、5种元素出来陈列所得的陈列数分别为： P15＝５ P25＝５×４＝２０ P35＝５×４×３＝６０ P45＝５×４×３×２＝１２０ P55＝５×４×３×２×１＝１２０ 　　　 如此从 5种不同元素中每次每1、2、3、4、5种元素出来陈列所得的陈列总数为：5＋２０＋６０＋１２０＋１２０＝３２５。 　　　 从上分析可见， 5种不同元素进展不同方式的组合的组合数为31，陈列数为325。假设是从更多的元素中进展不同方式的组合和陈列，其组合数和陈列数都将特别之宏大。要是我们将陈列组合方法真正运用到学习、科学研究和制造制造活动中去，其效果之宏大必定会使人难以想象。 　　　 我们在数学中从学过的二元坐标中可知，坐标平面上的任何一个点都是由 x轴和y轴上的一个点共同组合成的；而在三元坐标中，坐标的立体空间中的任何一个点都是由x、y、z轴上的一个点共同组合成的；同理，在四元坐标，五元坐标及多元坐标的空间中任何一个点都分别是由4个、5个及多个点共同组合成的。可见二元和三元坐标上不过是组合法中的一个范例。前段时间我阅读了一下中国思维魔王一书，这本书实为制造“思维魔球〞的制造人许国泰的传记，由于许国泰制造了“思维魔球〞而名躁一时。事实上，细心的读者，一定会觉察，许先生的“思维魔球〞也确实是我刚刚讲的多元坐标(即多个点共同组合成一个点)的一个应用范例；还有在我国筹划界小有名气的陈放先生著的创意的革命和智能原子弹等书中讲的什么拉线相关法等一大堆创意法等等没一种不是陈列组合法的翻板或变形或延伸。在此我要提示广阔读者，尽管目前新方法不断涌现，层出不穷，有的大都是名称特别玄的，甚至有令人耳目一新的感受，但细细想来都不外是陈列组合法的缩影或直截了当翻板或变形或延伸。认真细想起来，这些方法本质上根本没有一点新意，也没有一点创意。有的只不过是外表的翻新而已，实为一种换汤不换药的做法。而在这个注重包装的年代里，旧方法被人拿来重新包装，然后盛大推出去，引起一片掌声也是常有的事。所以这对人们重新认识一种旧方法也是特别有好处的，假设旧方法不被人重新包装，就往往会被人们遗忘了，从而渐渐地被消失在人们的脑海中。从这一角度说，旧方法被重新包装也是件好事。 　　　 在宇宙中，任何事物都能够看成是一种元素，大至银河系等星系、星球，小至原子和分子等都能够看成是一种种元素。如此能供我们进展各种各样陈列组合的元素就多了，多至无穷无尽，如此我们将宇宙中万事万物进展各种各样不同层次或跨层次的陈列组合，产生的组合数或陈列数就多得数不胜数，以到无穷无尽，而在这无穷无尽的陈列组合中就必定会产生一些新觉察、新制造、新制造，提出一些新假说、新原理、新理论等等。如录音机与收音机组合可产生一种新制造——收录机，而目前出现的许多方法事实上也是由陈列组合法产生的，因而我认为方法也像化学中的化学反响方程式一样，尽管看似千变万化、错综复杂，但它们都只不过是几种简单反响陈列组合的产物。我在化学新思想中讲到所有元素看似各不一样，但它们都是由氢元素的三种不同的同位素氕、氘、氚进展不同方式的组合的结果；而所有单质和化合物多得数不胜数、错综复杂，但它们都无一不是由这百来种元素陈列组合的结果；而我们人、动物和植物等生物体看似各不一样、丰富多彩，本质上也只不过是由不同细胞等元素进展各种各样陈列组合的结果；我们的日常用品也相当丰富多彩，如：彩电、冰箱、洗衣机、电饭锅、电炒锅、电烫斗、、、机、、打印机、办公桌等等，细细想起来，无一不是陈列组合的产物。严格地说，世界上没有绝对单一纯洁的东西，所有东西都是由不同元素按一定顺序陈列组合而成的；确实是我们如今读的图书也是由纸张、文字、胶水、薄膜、线或钉及各种色彩组合而成的；确实是我们的汉字，尽管数以万计，但无非也是由点、横、竖、撇、捺等笔画陈列组合而得的；我们学习的英文单词多得数不胜数，但无非也是由 26个字母中取某几个出来进展不同陈列组合的结果；其它任何文字也都一样，都是陈列组合的结果，无一例外。可见，世界上万事万物都是陈列组合之结果。 　　　 要是我们将我们所见过的万事万物 (即各种不同的元素)进展各式各样不同层次的陈列组