2023年高三一轮复习讲座五平面向量高中数学.docx

2023年高三一轮复习讲座五 ----平面向量 主讲教师：王思俭 〔苏州中学〕 二、复习要求 1、 向量的概念； 2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律； 3、向量运算的运用 三、学习指导 1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的根底。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。 向量运算中的根本图形：①向量加减法那么：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点根本图形——起点相同的三个向量终点共线等。 2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。 主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 += -= 记=(x1,y1)，=(x1,y2) 那么+=(x1+x2,y1+y2) -=〔x2-x1,y2-y1〕 += 实数与向量 的乘积 =λ λ∈R 记=(x,y) 那么λ=(λx,λy) 两个向量 的数量积 ·=|||| cos<,> 记=(x1,y1), =(x2,y2) 那么·=x1x2+y1y2 3、 运算律 加法：+=+，(+)+=+(+) 实数与向量的乘积：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)= (λμ) 两个向量的数量积：·=·；(λ)·=·(λ)=λ(·)，(+)·=·+· 说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法那么，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)2= 4、 重要定理、公式 〔1〕平面向量根本定理；如果+是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对数数λ1，λ2，满足=λ1+λ2，称λ1λ+λ2为，的线性组合。 根据平面向量根本定理，任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应，称(λ1,λ2)为在基底{，}下的坐标，当取{，}为单位正交基底{，}时定义(λ1，λ2)为向量的平面直角坐标。 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即假设A(x，y)，那么=〔x,y〕；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即假设A〔x1,y1〕，B〔x2,y2〕，那么=(x2-x1,y2-y1) 〔2〕两个向量平行的充要条件 符号语言：假设∥，≠，那么=λ 坐标语言为：设=〔x1,y1〕，=(x2,y2)，那么∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0 在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0。 |λ|=，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。 〔3〕两个向量垂直的充要条件 符号语言：⊥·=0 坐标语言：设=(x1,y1), =(x2,y2)，那么⊥x1x2+y1y2=0 〔4〕线段定比分点公式 如图，设 那么定比分点向量式： 定比分点坐标式：设P〔x,y〕，P1〔x1,y1〕，P2〔x2,y2〕 那么 特例：当λ=1时，就得到中点公式： ， 实际上，对于起点相同，终点共线三个向量，，〔O与P1P2不共线〕，总有=u+v，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。 〔5〕平移公式： ① 点平移公式，如果点P〔x，y〕按=〔h，k〕平移至P’〔x’，y’〕，那么 分别称〔x，y〕，〔x’，y’〕为旧、新坐标，为平移法那么 在点P新、旧坐标及平移法那么三组坐标中，两组坐标，一定可以求第三组坐标 ②图形平移：设曲线C：y=f(x)按=〔h，k〕平移，那么平移后曲线C’对应的解析式为y-k=f(x-h) 当h，k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移 利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质 〔6〕正弦定理，余弦定理 正弦定理： 余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosc 定理变形：cosA=，cosB=，cosC= 正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又根本的工具。通过阅读课本，理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。 5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，表达了向量解决问题的“程序性〞特点。 四、典型例题 例1、如图，，为单位向量，与夹角为1200， 与的夹角为450，||=5，用，表示。 分析： 以，为邻边，为对角线构造平行四边形 把向量在，方向上进行分解，如图，设=λ，=μ，λ>0，μ>0 那么=λ+μ ∵ ||=||=1 ∴ λ=||，μ=|| △ OEC中，∠E=600，∠OCE=750，由得： ∴ ∴ 说明：用假设干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的根本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理 例2、△ABC中，A〔2，-1〕，B〔3，2〕，C〔-3，-1〕，BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。 分析： 用解方程组思想 设D〔x，y〕，那么=〔x-2，y+1〕 ∵=〔-6，-3〕，·=0 ∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 ① ∵=(x-3，y-2)，∥ ∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 ② 由①②得： ∴ D〔1，1〕，=〔-1，2〕 例3、求与向量=，-1〕和=〔1，〕夹角相等，且模为的向量的坐标。 分析： 用解方程组思想 法一：设=〔x，y〕，那么·=x-y，·=x+y ∵ <，>=<，> ∴ ∴ 即 ① 又||= ∴ x2+y2=2 ② 由①②得 或〔舍〕 ∴= 法二：从分析形的特征着手 ∵ ||=||=2 ·=0 ∴ △AOB为等腰直角三角形，如图 ∵ ||=，∠AOC=∠BOC ∴ C为AB中点 ∴ C〔〕 说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。 例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量。 分析： ∵ B、P、M共线 ∴ 记=s ∴ ① 同理，记 ∴ = ② ∵ ,不共线 ∴ 由①②得解之得： ∴ 说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数〔如s，t〕是常用技巧之一。平面向量根本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。 例5、长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点 （1） 利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=450； （2） 假设∠PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。 分析： 利用坐标系可以确定点P位置 如图，建立平面直角坐标系 那么C〔2，0〕，D〔2，3〕，E〔1，0〕 设P〔0，y〕 ∴ =〔1，3〕，=〔-1，y〕 ∴ ·=3y-1 代入cos450= 解之得〔舍〕，或y=2 ∴ 点P为靠近点A的AB三等分处 （3） 当∠PED=450时，由〔1〕知P〔0，2〕 ∴ =〔2，1〕，=〔-1，2〕 ∴·=0 ∴ ∠DPE=900 又∠DCE=900 ∴ D、P、E、C四点共圆 说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。 同步练习 （一） 选择题 1、 平面内三点A〔0，-3〕，B〔3，3〕，C〔x，-1〕，假设∥，那么x的值为： A、 -5 B、-1 C、1 D、5 2、平面上A〔-2，1〕，B〔1，4〕，D〔4，-3〕，C点满足，连DC并延长至E，使||=||，那么点E坐标为： A、〔-8，〕 B、〔〕 C、〔0，1〕 D、〔0，1〕或〔2，〕 2、 点〔2，-1〕沿向量平移到〔-2，1〕，那么点〔-2，1〕沿平移到： 3、 A、〔2，-1〕 B、〔-2，1〕 C、〔6，-3〕 D、〔-6，3〕 4、 △ABC中，2cosB·sinC=sinA，那么此三角形是： A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能 5、 设，， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，那么： ①(·)-(·)=0 ②||-||<|-| ③(·)-(·)不与垂直 ④(3+2)·(3-2)=9||2-4|2中， 真命题是： A、①② B、②③ C、③④ D、②④ 6、△ABC中，假设a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，那么∠C度数是： A、600 B、450或1350 C、1200 D、300 7、△OAB中，=，=，=，假设=，t∈R，那么点P在 A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上 C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上 8、正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=〔0，3〕，=〔4，0〕，那么= A、〔〕 B、〔〕 C、〔7，4〕 D、〔〕 （二） 填空题 9、{，|是平面上一个基底，假设=+λ，=-2λ-，假设，共线，那么λ=__________。 10、||=，||=1，·=-9，那么与的夹角是________。 11、设，是两个单位向量，它们夹角为600， 那么(2-)·(-3+2)=____________。 12、把函数y=cosx图象沿平移，得到函数___________的图象。 （三） 解答题 13、设=〔3，1〕，=〔-1，2〕，⊥，∥，试求满足+=的的坐标，其中O为坐标原点。 14、假设+=〔2，-8〕，-=〔-8，16〕，求、及与夹角θ的余弦值。 15、||=，||=3，和夹角为450，求当向量+λ与λ+夹角为锐角时，λ的取值范围。 参考答案 〔一〕1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、B 7、A 8、A 〔二〕9、 10、 11、 12、y=sinx+1 〔三〕13、〔11，6〕 14、=〔-3，4〕，=〔5，-12〕， 15、λ<，或λ>且λ≠1