2023年待定系数法.docx

待定系数法 篇一：格式范文-待定系数法 待定系数法在中学数学解题中的应用（小二黑体） 苏奕婷（小三楷体） 【】 待定系数法是处理数学征询题时常用的数学方法之一，它在数学解题中广泛使用，特别是有些征询题，用待定系数法更简捷明了。文章简单阐述了待定系数法的概念、理论按照及其解题步骤，重点阐述了待定系数法在分解因式、求数列通项公式中、解方程、求函数解析式以及几何证明中的应用。（四号宋体） 【关键词】 待定系数法 多项式恒等 应用（四号宋体） 做任何事情都要讲究方法。方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。解答数学征询题关键也在于掌握考虑征询题的方法，思维方法正确，征询题就容易处理。波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。〞 待定系数法是中学数学中的一种常用的解题方法，它在中学数学中起着至关重要的作用，其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，因此，认真学好并掌握待定系数法将大有裨益。下面就待定系数法在中学数学解题中的应用进展阐述。 一、对“待定系数法〞的概述（小三黑体） 1．待定系数法的概念及其理论按照（四号黑体） 待定系数法是指利用已经明白条件确定一个解析式或某一个数学表达式中的待定参数的值，从而得到预期结果的方法。更广泛地说，是要确定变量间的函数关系，设出某些未知数，然后按照所给条件来确定这些未知数，使征询题得四处理的方法。其理论按照是多项式恒等，也确实是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件：关于一个任意的a值，都有f(a)=g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。（小四宋体） 2．待定系数法的解题步骤（四号黑体） 利用待定系数法解题的关键是按照已经明白，正确列出等式或方程，使用待定系数法，确实是把具有某种确定方式的数学征询题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来处理，要推断一个征询题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学征询题，是否具有某种确定的数学表达式，假设具有，就可以用待定系数法求解。例如：分解因式x2-2xy+y2+2x-2y-3。先看多项式中的二次项x2-2xy+y2，可以分解成（x-y）(x-y)，那么：假设多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积，那么这两个因式必定是（x-y+m）(x-y+n)的方式，其中m，n为待定系数，按照两个多项式恒等，它们的对应项的系数就对应相等，求出m和n的值，多项式便能分解。（小四宋体） 因此，使用待定系数法解题的一般步骤可归纳为： （1）确定所求征询题含待定系数的解析式； （2）按照恒等条件，列出一组含待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使征询题得四处理。 二、待定系数法在解题中的应用（小三黑体） 待定系数法在解题中的应用特别广泛，在使用待定系数法时，要留意所设的方式是否正确或适宜题意，还要留意设系数时，待定的系数要尽量少，以简化计算。 1．在分解因式中的应用（四号黑体） 因式分解是中学数学的一个重要的恒等变形征询题。一般分解因式的方法有提取公因式、应用公式法、十字相乘法等等，但遇到一些复杂的多项式，如：没有公因式的多项式或提出公因式后所得的多项式，不能用一般方法分解时，这时，尝试用待定系数法，征询题就简单了。 例1：分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4 解：由于3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y) 故可设3x2+5xy-2y2+x+9y-4 =(3x-y+a)(x+2y+b) =3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab 比较两边系数，得 a+3b=1 (1) 2a-b=9 (2) ab=-4(3) 由（1），（2）联立得a=4，b=-1，代入（3）式适宜。 因此，原式=(3x-y+4)(x+2y-1) 在分解复杂的多项式时，主要是按照两多项式f(x)g(x)，那么它们同次的对应项系数一定相等，利用这个结论将因式分解的征询题转化为解方程组，即求待定系数的征询题来处理。 2．在求数列通项公式中的应用（四号黑体） 数列征询题的处理过程是征询题的不断变换和数学思想方法灵敏运用的过程，求数列通项公式的方法灵敏多样，关于特别数列（等差或等比），可直截了当设出其通项公式，按照已经明白条件，运用待定系数法，征询题就变得简单了。 例2：已经明白数列{an}的通项an=n(n+1)2，是否存在等差数列{bn},使an=1b1+2b2+3b3++nbn对一切自然数n都成立，并说明理由。 分析：标题给出的条件是等式，等差数列{bn}具有确定的方式，可设bn=a1+(n-1)d或bn=pn+q，这两者是等价的，可利用待定系数法，按照标题条件看参数a1,b或p,q的 值是否存在。 解：假设等差数列{bn}，使an=1b1+2b2+3b3++nbn 对一切自然数n都成立。 设bn=pn+q（p,q为待定系数），那么 n(n+1)2=1(p+q)+2(2p+q)++n(np+q) 令n=1,得p+q=4 (1) 令n=2,得5p+3q=18 (2) 由（1）（2）联立，解得p=3,q=1，故bn=3n+1 但如此得到的{bn}只是必要条件，也确实是还必须证明其充分性，需要用数学归 纳法证明：对一切自然数n，等式： 14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2成立. 如此一道难题的成功解出，带给人无限的享受，简单而又巧妙的解法更让人体会到数学海洋中挖掘不尽的美所带来的美感 ，在解题时应留意观察分析标题，巧用数学解题方法 。 3．在解方程中的应用 （四号黑体） 解方程是中学课本的一个重要内容，通常是按照解方程的步骤，但在解某些方程（特别是高次方程）时，某些时候使用待定系数法也可使征询题得到简化。 例3：已经明白三次方程x3-6x2+11x-6=0,有一根是另一根的2倍，解该方程 。 解：设该方程的三根分别为a,2a,b，那么有 x3-6x2+11x-6=(x-a)(x-2a)(x-b) 左右分别展开，并把一样的系数作比较，可得: 解得：a=1,b=3 2b=-6 因此该方程的根分别为：x1=1,x2=2,x3=3. 4．在求函数解析式中的应用（四号黑体） 求函数解析式的方法较多，常常用到待定系数法，如何简捷地运用待定系数法呢？应按照题意灵敏运用，但要留意自变量的取值范围。 例4：已经明白f(x)为二次函数，且f(2x+1)+f(2x-1)=16x2-4x+6,求f(x)。 解：按照题意，设f(x)=ax2+bx+c (a0) f(2x+1)=a(4x2+4x+1)+b(2x+1)+c f(2x-1)=a(4x2-4x+1)+b(2x-1)+c f(2x+1)+f(2x-1)=8ax2+4bx+2a+2c 由已经明白得，16x2-4x+6=8ax2+4bx+2a+2c 解得 f(x)=2x2-x+1 求函数解析式，主要是由已经明白条件，依托知识、经历背景等，确定选用适宜的表达式，按照多项式恒等原理，求出待定系数。 5．在几何中的应用（四号黑体） 待定系数法是处理几何征询题的常用方法，确定直线或曲线方程确实是要确定方程中x、y的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，然后设法将已经明白的几何条件转化成代数方式后代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法，在含参数的曲线方程中，参数值确定，方程随之确定。 例5：求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2) 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆 心坐标。 解：设所求的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 用待定系数法，按照所给条件，来确定D,E,F 因O,M1,M2在圆上，因此它们的坐标是方程的解，把它们的坐标依次代入上面 的方程，得到关于D,E,F的三元一次方程组： 解这个方程组得D=-8,E=6,F=0 因此得到所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0. 圆的半径r=1 2D2E24F=5 圆心坐标是(4,-3)。 篇二：第 10 讲 待定系数法(高中版) 第 10 讲 待定系数法(高中版) （第课时） D 重点：1．； 2．；3．。 难点 ：1．；2．；3 ．；。 其中含有某些待定的系数，而后按照题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学征询题，这种解题方法称为待定系数法。 待定系数法是中学数学常用的方法，它常用在求代数式的值、因式分解、恒等变形、求函数表达式、数列求和、求复数、求曲线方程等等方面。 使用待定系数法解题的根本步骤是：第一步，针对所求征询题，确定含有待定系数的解析式；第二步，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组确定待定系数或者消去待定系数。确定待定系数的值常用比较系数法或特别值法。 二次函数解析式有三种表达方式， 1．一般式：y=ax2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数 2．顶点式：y=a(x-h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。 3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2 为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。 每种方式都有三个待定的系数，因此用待定系数法求二次函数解析式应留意以下几点： 按照标题给定的条件留意选择适当的表达方式，一般已经明白抛物线的顶点，用顶点式；已经明白抛物线与x轴的两个交点（或与x轴的一个交点及对称轴），用交点式。 解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，如此可以大大简化计算过程，故尽量由已经明白条件先行直截了当确定某些系数。 假设标题给定二次函数解析式的某种方式（如y=ax2+ bx+c=0 (a≠0)），那么最后的结果必须写成此种方式。 1．待定系数法在求数列通项中的应用 例.（高三）数列{an}满足a1=1，an= 1 a+1（n≥2），求数列{an}的通项公式。 2n1 分析：一般地，形如an1=p an+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解，只要设 an1+k=p（an+k）并与原式比较系数可得出 k，从而得等比数列{an+k}。 111 (an1+k) ，即 an=an1-k ，与原式比较系数可得 k=-2 ， 22211 那么由an=an1+1（n≥2）得 an－2=（an1－2），而 a1－2=1－2=－1 ， 22 1 ∴ 数列{ an－2}是以为公比，－1为首项的等比数列， 21n11n1 ∴ an－2=－（） ，∴ an=2－（） 。 22 解：令 an+k = 点评：此题使用待定系数法求数列通项。 例.（高三）数列{an}满足a12,a25,an23an12an=0，求数列{an}的通项公式。 分析：关于 an2pan1qan 型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列 {anan1}，这只要设 an2kan1h(an1kan) ，再比较系数得 hkphkq， hkq 可解得h、k。 此题递推式 an23an12an0 中含相邻三项，因此考虑每相邻两项的组合，即把中间一项an1的系数分解成1和2，适当组合，可觉察一个等比数列{anan1}。 解：由 an23an12an0 得 an2an12(an1an)0 ， 即 an2an12(an1an） ，且 a2a1523 ， ∴ {an1an}是以2为公比，3为首项的等比数列，∴ an1an32n1 ， 利用逐差法可得an1(an1an)(anan1)(a2a1)a1 32n23202 n1n2 =3(2221)2 =32 n1 12n 2 =3 12n =321 ∴ an32n11 。 2．待定系数法在求复数中的应用 3．待定系数法在三角中的应用 4．待定系数法在立几中的应用 5．待定