2023年国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务3试题及答案.doc

国家开放大学电大本科常微分方程网络课形考任务3试题及答案 国家开放大学电大本科常微分方程网络课形考任务3试题及答案 形考任务3 常微分方程学习活动3 第一章 初等积分法的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章根本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握． 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成〞按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1．微分方程是 二 阶微分方程． 2．初值问题的解所满足的积分方程是． 3．微分方程是 一阶线性非齐次微分方程 ．〔就方程可积类型而言〕4．微分方程是 全微分方程 ．〔就方程可积类型而言〕5．微分方程是 恰当倒数方程 ．〔就方程可积类型而言〕6．微分方程的所有常数解是． 7．微分方程的常数解是 ． 8．微分方程的通解为． 9．微分方程的通解是. 10．一阶微分方程的一个特解的图像是　二 维空间上的一条曲线． 二、计算题 1．指出以下方程的阶数，是否是线性方程：〔1〕 答：一阶，非线性 〔2〕 答：四阶，线性 〔3〕 答：三阶，非线性 2．用别离变量法求解以下方程：〔1〕 〔2〕 〔3〕 2．〔1〕解 通积分为 〔2〕解 当时，别离变量，两端取积分得 即 通积分为 另外，是常数解， 注: 在方程求解时，求出显式通解或隐式通解〔通积分〕即可，常数解可以不求。 〔3〕解 当时, 方程可变为 ， 通积分为 或 , 上式代入初值条件. 得. 于是初值问题解为 . 3．解以下齐次线性微分方程 〔1〕 〔2〕 〔1〕解 显然是方程的解. 当时, 原方程可化为 . 令, 那么原方程可化为 , 即 易于看出, 是上面方程的解, 从而 是原方程的解. 当时, 别离变量得, . 两端积分得(C) 将换成, 便得到原方程的解 , (C). 故原方程的通解为〔为任意常数〕及 . 〔2〕解 显然是方程的解. 当时, 原方程可化为 . 令, 那么原方程可化为 , 即 易于看出, 是上式的解, 从而是原方程的解. 当时, 别离变量得, . 两端积分得 (C). 将换成, 便得到原方程的解 (C). 故原方程的通解为 . 4．解以下一阶线性微分方程：〔1〕 〔2〕 〔1〕解 先解齐次方程 . 其通解为 . 用常数变易法, 令非齐次方程通解为 . 代入原方程, 化简后可得. 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . 〔2〕解 先解齐次方程 . 其通解为 . 用常数变易法, 令非齐次方程通解为 . 代入原方程, 化简后可得 . 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . 5．解以下伯努利方程 〔1〕 〔2〕 〔1〕解 显然是方程解. 当时, 两端同除, 得 . 令, 代入有 它的解为 于是原方程的解为，及 〔2〕解 显然是方程解. 当时, 两端同除, 得 . 令, 代入有 它的解为 ， 于是原方程的解， 及 6．解以下全微分方程：〔1〕 〔2〕〔1〕解 因为 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个平面都连续可微, 不妨选取. 故方程的通积分为 , 即 . 〔2〕解 因为 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个平面都连续可微, 不妨选取. 故方程的通积分为 , 即 . 7．求以下方程的积分因子和积分：〔1〕 〔2〕 〔1〕解 因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子. 由公式〔1. 58〕得积分因子，即 于是方程 为全微分方程.取 . 于是方程的通积分为. 即 . 〔2〕解 因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子. 解方程 由公式〔1. 58〕得积分因子，即 于是方程 为全微分方程. 取 . 于是通积分为. 即. 8．求解以下一阶隐式微分方程 〔1〕 〔2〕 〔1〕解 将方程改写为 即或 解得通积分为：, 又是常数解. 〔2〕解 显然是方程的解. 当时, 方程可变为 , 令, 那么上面的式子可变为 . 解出u得, . 即 . 对上式两端积分得到方程的通解为 9．求解以下方程 〔1〕 〔2〕 〔1〕解 令 , 那么. 代入原式得. 解出得 . 这是克莱洛方程，通解为 . 即 . 解之得 〔为任意常数〕. 〔2〕解 化简得 ， 即 求积分得 . . 三、证明题 1．设函数，在上连续，且， 〔a, b为常数〕．求证：方程 的一切解在上有界． 2．设在上连续，且，求证：方程 的一切解，均有． 1．证明 设y=y(x)是方程任一解，且满足y(x0)=y0, 那么 由于，所以对任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞时 有 令，那么 于是得到 又在[x0，x1]上y(x)有界设为M2，现取 ， 那么 2．证明 设是方程任一解，满足，该解的表达式为 取极限 = 四、应用题 1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比, 空气温度为, 而物体在15分钟内由 冷却到 , 求物体冷却到所需的时间. 2．重为100kg的物体，在与水平面成30°的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：〔1〕物体运动的微分方程；〔2〕求5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度． 1． 解 设物体在时刻t的温度为，由题意满足初值问题 其中为常数． 解得 设物体冷却到40℃所需时间为，于是由得 解得 52分钟. 2．解 取初始下滑点为原点，轴正向垂直向下，设 时刻速度为 , 距离为, 由题意满足初值问题 解得 再由解得 于是得到5秒后， ， , ．