2023年高三数学一轮热身AB组111《简单几何体》doc高中数学.docx

第十一章 立体几何 第一节 简单几何体 A组 1．以下命题中，不正确的选项是______． ①棱长都相等的长方体是正方体 ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱 ③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 ④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体 解析：由平行六面体、正方体的定义知①④正确；对于②，相邻两侧面垂直于底面，那么侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，因而②正确；对于③，假设两侧面平行且垂直于底面，那么不一定是直棱柱．答案：③ 2．(2023年高考全国卷Ⅱ改编)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，那么标“△〞的面的方位是________． 解析：将所给图形复原为正方体，如下列图，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上〞面向上可知“△〞的方位为北．答案：北 3．(2023年高考安徽卷)对于四面体ABCD，以下命题正确的选项是________．(写出所有正确命题的编号)． ①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线； ②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点； ③假设分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，那么这两条高的垂足重合； ④任何三个面的面积之和都大于 第四个面的面积； ⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点． 解析：②中的四面体如果对棱垂直，那么垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果AB与CD垂直，那么两条高的垂足重合．答案：①④⑤ 4．以下三个命题，其中正确的有________个． ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的局部是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台． 解析：①中的平面不一定与底面平行，②③可用反例图去验证．答案：0 5．下面命题正确的有________个． ①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱 ②过圆锥侧面上一点有无数条母线 ③三棱锥的每个面都可以作为底面 ④圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形 解析：①②错，③④正确．①错在绕一条直线，应该是绕长方形的一条边所在的直线；②两点确定一条直线，圆锥的母线必过圆锥的顶点，因此过圆锥侧面上一点只有一条母线．答案：2 6.如下列图，长方体的长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm，一只蚂蚁从A到C1点沿着外表爬行的最短距离是多少？ 解：长方体ABCD－A1B1C1D1的外表可如以下列图三种方法展开后，A、C1两点间的距离分别为： ＝3，＝4，＝，三者比较得是从点A沿外表到C1的最短距离，∴最短距离是 cm. B组 1．(2023年高考安徽卷)对于四面体ABCD，以下命题正确的选项是________． ①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线； ②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点； ③假设分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，那么这两条高的垂足重合； ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积； ⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点． 解析：②中的四面体如果对棱垂直，那么垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果AB与CD垂直，那么两条高的垂足重合．答案：①④⑤ 2．下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥． ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是______．(写出所有真命题的编号) 解析：对于①，设四面体为D－ABC，过棱锥顶点D作底面的垂线DE，过E分别作AB，BC，CA边的垂线，其垂足依次为F，G，H，连结DF，DG，DH，那么∠DFE，∠DGE，∠DHE分别为各侧面与底面所成的角，所以∠DFE＝∠DGE＝∠DHE，于是有FE＝EG＝EH，DF＝DG＝DH，故E为△ABC的内心，又因△ABC为等边三角形，所以F，G，H为各边的中点，所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，故DA＝DB＝DC，故棱锥为正三棱锥．所以为真命题．对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所以为假命题．对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题．对于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合①知底面应为正三角形，所以为真命题．综上，①④为真命题．答案：①④ 3.关于如下列图几何体的正确说法为________． ①这是一个六面体　②这是一个四棱台 ③这是一个四棱柱　④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体　 ⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱 答案：①②③④⑤ 4．(2023年高考安徽卷)对于四面体ABCD，以下命题正确的选项是________． ①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线； ②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点； ③假设分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，那么这两条高的垂足重合； ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积； ⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点． 解析：②中的四面体如果对棱垂直，那么垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果AB与CD垂直，那么两条高的垂足重合．答案：①④⑤ 5．给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形．其中说法正确的选项是__________． 解析：命题①不是真命题，因为底面是矩形，假设侧棱不垂直于底面，这时四棱柱是斜四棱柱；命题②不是真命题，直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥，如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体那么是两个具有共同底面的圆锥；命题③是真命题，如下列图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，那么可以得到四个侧面都是直角三角形．故填③. 答案：③ 6．以下结论正确的选项是 ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥 ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，那么该棱锥可能是正六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析：①错误．如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥． ②错误．如图(2)(3)所示，假设△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥． ③错误．假设六棱锥的所有棱长都相等，那么底面多边形是正六边形．由几何图形知，假设以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长． ④正确．答案：④ 7．过半径为2的球O外表上一点A作球O的截面，假设OA与该截面所成的角是60°，那么该截面的面积是________． 解析：设截面的圆心为O′，由题意得：∠OAO′＝60°，O′A＝1，S＝π·12＝π.答案：π 8．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥〞，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是________． ①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 ②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 ③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 ④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 解析：①如图，∵SA=SB=SC=SD，∴∠SAO=∠SBO=∠SCO=∠SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相等，正确；②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立；③如图，由SA=SB=SC=SD得OA=OB=OC=OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；④等腰四棱锥各顶点在同一个球面上，正确．应选②.答案：② 9．(2023年高考江西卷)如图(1)，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图(2)) 有以下四个命题： A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P D．假设往容器内再注入a升水，那么容器恰好能装满． 其中真命题的代号是：______(写出所有真命题的代号)． 解析：设正四棱柱底面边长为b，高为h1，正四棱锥高为h2，那么原题图(1)中水的体积为b2h2－b2h2＝b2h2， 图(2)中水的体积为b2h1－b2h2＝b2(h1－h2)， 所以b2h2＝b2(h1－h2)，所以h1＝h2，故A错误，D正确． 对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确．对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为b2h2>b2h2，矛盾，故C不正确．答案：BD 10．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h3，求h1∶h2∶h3的值． 解：选依题意，四棱锥为正四棱锥，三棱锥为正三棱锥，且棱长均相等，设为a，h2＝h3，h1＝ ＝a，h2＝ ＝a， 故h1∶h2∶h3＝∶2∶2. 11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长． 解：如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，边长为2，△DEF为等腰直角三角形，DF为斜边，设DF长为x，那么DE＝EF＝x，作DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1， 那么EG＝＝，FI＝＝，FH＝FI＋HI＝FI＋EG＝2，在Rt△DHF中，DF2＝DH2＋FH2，即x2＝4＋(2)2，解得x＝2.即该三角形的斜边长为2. 12．(2023年高考辽宁卷改编)如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值． 解：设地球的半径为R，那么对应的赤道线的大圆的半径为R，而对应的北纬60°纬线所在的小圆的半径为R，那么它们对应的长度之比为R∶R＝. 即所求比值为.