2023年高中物理第九部分磁场竞赛讲座讲稿新人教版.docx

第九局部 磁场 第一讲 根本知识介绍 磁场局部在奥赛考刚中的考点很少，和高考要求的区别不是很大，只是在两处有深化：a、电流的磁场引进定量计算；b、对带电粒子在复合场中的运动进行了更深入的分析。 一、磁场与安培力 1、磁场 a、永磁体、电流磁场→磁现象的电本质 b、磁感强度、磁通量 c、稳恒电流的磁场 x毕奥-萨伐尔定律〔Biot-Savart law〕：对于电流强度为I 、长度为dI的导体元段，在距离为r的点激发的“元磁感应强度〞为dB 。矢量式d= k，〔d表示导体元段的方向沿电流的方向、为导体元段到考查点的方向矢量〕；或用大小关系式dB = k×10−7N/A2 。应用毕萨定律再结合矢量叠加原理，可以求解任何形状导线在任何位置激发的磁感强度。 毕萨定律应用在“无限长〞直导线的结论：B = 2k ； x毕萨定律应用在环形电流垂直中心轴线上的结论：B = 2πkI ； x毕萨定律应用在“无限长〞螺线管内部的结论：B = 2πknI 。其中n为单位长度螺线管的匝数。 2、安培力 a、对直导体，矢量式为 = I；或表达为大小关系式 F = BILsinθ再结合“左手定那么〞解决方向问题〔θ为B与L的夹角〕。 b、弯曲导体的安培力 ⑴整体合力 折线导体所受安培力的合力等于连接始末端连线导体〔电流不变〕的的安培力。 证明：参照图9-1，令MN段导体的安培力F1与NO段导体的安培力F2的合力为F，那么F的大小为 F = = BI = BI 关于F的方向，由于ΔFF2P∽ΔMNO，可以证明图9-1中的两个灰色三角形相似，这也就证明了F是垂直MO的，再由于ΔPMO是等腰三角形〔这个证明很容易〕，故F在MO上的垂足就是MO的中点了。 证毕。[ 由于连续弯曲的导体可以看成是无穷多元段直线导体的折合，所以，关于折线导体整体合力的结论也适用于弯曲导体。〔说明：这个结论只适用于匀强磁场。〕 ⑵导体的内张力 弯曲导体在平衡或加速的情形下，均会出现内张力，具体分析时，可将导体在被考查点切断，再将被切断的某一局部隔离，列平衡方程或动力学方程求解。 c、匀强磁场对线圈的转矩 如图9-2所示，当一个矩形线圈〔线圈面积为S、通以恒定电流I〕放入匀强磁场中，且磁场B的方向平行线圈平面时，线圈受安培力将转动〔并自动选择垂直B的中心轴OO′，因为质心无加速度〕，此瞬时的力矩为 M = BIS 几种情形的讨论—— ⑴增加匝数至N ，那么 M = NBIS ； ⑵转轴平移，结论不变〔证明从略〕； ⑶线圈形状改变，结论不变〔证明从略〕； x⑷磁场平行线圈平面相对原磁场方向旋转α角，那么M = BIScosα ，如图9-3； 证明：当α = 90°时，显然M = 0 ，而磁场是可以分解的，只有垂直转轴的的分量Bcosα才能产生力矩… ⑸磁场B垂直OO′轴相对线圈平面旋转β角，那么M = BIScosβ ，如图9-4。 证明：当β = 90°时，显然M = 0 ，而磁场是可以分解的，只有平行线圈平面的的分量Bcosβ才能产生力矩… 说明：在默认的情况下，讨论线圈的转矩时，认为线圈的转轴垂直磁场。如果没有人为设定，而是让安培力自行选定转轴，这时的力矩称为力偶矩。 二、洛仑兹力 1、概念与规律 a、 = q，或展开为f = qvBsinθ再结合左、右手定那么确定方向〔其中θ为与的夹角〕。安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观表达。 b、能量性质 由于总垂直与确定的平面，故总垂直 ，只能起到改变速度方向的作用。结论：洛仑兹力可对带电粒子形成冲量，却不可能做功。或：洛仑兹力可使带电粒子的动量发生改变却不能使其动能发生改变。 问题：安培力可以做功，为什么洛仑兹力不能做功？ 解说：应该注意“安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观表达〞这句话确实切含义——“宏观表达〞和“完全相等〞是有区别的。我们可以分两种情形看这个问题：〔1〕导体静止时，所有粒子的洛仑兹力的合力等于安培力〔这个证明从略〕；〔2〕导体运动时，粒子参与的是沿导体棒的运动v1和导体运动v2的合运动，其合速度为v ，这时的洛仑兹力f垂直v而安培力垂直导体棒，它们是不可能相等的，只能说安培力是洛仑兹力的分力f1 = qv1B的合力〔见图9-5〕。 很显然，f1的合力〔安培力〕做正功，而f不做功〔或者说f1的正功和f2的负功的代数和为零〕。〔事实上，由于电子定向移动速率v1在10−5m/s数量级，而v2一般都在10−2m/s数量级以上，致使f1只是f的一个极小分量。〕 ☆如果从能量的角度看这个问题，当导体棒放在光滑的导轨上时〔参看图9-6〕，导体棒必获得动能，这个动能是怎么转化来的呢？ 假设先将导体棒卡住，回路中形成稳恒的电流，电流的功转化为回路的焦耳热。而将导体棒释放后，导体棒受安培力加速，将形成感应电动势〔反电动势〕。动力学分析可知，导体棒的最后稳定状态是匀速运动〔感应电动势等于电源电动势，回路电流为零〕。由于到达稳定速度前的回路电流是逐渐减小的，故在相同时间内发的焦耳热将比导体棒被卡住时少。所以，导体棒动能的增加是以回路焦耳热的减少为代价的。 2、仅受洛仑兹力的带电粒子运动 a、⊥时，匀速圆周运动，半径r = ，周期T = b、与成一般夹角θ时，做等螺距螺旋运动，半径r = ，螺距d = 这个结论的证明一般是将分解…〔过程从略〕。 ☆但也有一个问题，如果将分解〔成垂直速度分量B2和平行速度分量B1 ，如图9-7所示〕，粒子的运动情形似乎就不一样了——在垂直B2的平面内做圆周运动？ 其实，在图9-7中，B1平行v只是一种暂时的现象，一旦受B2的洛仑兹力作用，v改变方向后就不再平行B1了。当B1施加了洛仑兹力后，粒子的“圆周运动〞就无法达成了。〔而在分解v的处理中，这种局面是不会出现的。〕 3、磁聚焦 a、结构：见图9-8，K和G分别为阴极和控制极，A为阳极加共轴限制膜片，螺线管提供匀强磁场。 b、原理：由于控制极和共轴膜片的存在，电子进磁场的发散角极小，即速度和磁场的夹角θ极小，各粒子做螺旋运动时可以认为螺距彼此相等〔半径可以不等〕，故所有粒子会“聚焦〞在荧光屏上的P点。 4、盘旋加速器 a、结构&原理〔注意加速时间应忽略〕 b、磁场与交变电场频率的关系 因盘旋周期T和交变电场周期T′必相等，故 = c、最大速度 vmax = = 2πRf 5、质谱仪 速度选择器&粒子圆周运动，和高考要求相同。 第二讲 典型例题解析 一、磁场与安培力的计算 【例题1】两根无限长的平行直导线a、b相距40cm，通过电流的大小都是，方向相反。试求位于两根导线之间且在两导线所在平面内的、与a导线相距10cm的P点的磁感强度。 【解说】这是一个关于毕萨定律的简单应用。解题过程从略。 ×10−6T ，方向在图9-9中垂直纸面向外。【例题2】半径为R ，通有电流I的圆形线圈，放在磁感强度大小为B 、方向垂直线圈平面的匀强磁场中，求由于安培力而引起的线圈内张力。 【解说】此题有两种解法。 方法一：隔离一小段弧，对应圆心角θ ，那么弧长L = θR 。因为θ → 0〔在图9-10中，为了说明问题，θ被夸大了〕，弧形导体可视为直导体，其受到的安培力F = BIL ，其两端受到的张力设为T ，那么T的合力 ΣT = 2Tsin 再根据平衡方程和极限= 0 ，即可求解T 。 方法二：隔离线圈的一半，根据弯曲导体求安培力的定式和平衡方程即可求解… 【答案】BIR 。 〖说明〗如果安培力不是背离圆心而是指向圆心，内张力的方向也随之反向，但大小不会变。 〖学员思考〗如果圆环的电流是由于环上的带正电物质顺时针旋转而成〔磁场仍然是进去的〕，且单位长度的电量为λ、环的角速度ω、环的总质量为M ，其它条件不变，再求环的内张力。 〖提示〗此时环的张力由两局部引起：①安培力，②离心力。 前者的计算上面已经得出〔此处I = = ωλR〕，T1 = BωλR2 ； 后者的计算必须应用图9-10的思想，只是F变成了离心力，方程 2T2 sin = Mω2R ，即T2 = 。 〖答〗BωλR2 + 。 【例题3】如图9-11所示，半径为R的圆形线圈共N匝，处在方向竖直的、磁感强度为B的匀强磁场中，线圈可绕其水平直径〔绝缘〕轴OO′转动。一个质量为m的重物挂在线圈下部，当线圈通以恒定电流I后，求其静止时线圈平面和磁场方向的夹角。 【解说】这是一个应用安培力矩定式的简单问题，解题过程从略 【答案】arctg 。 二、带电粒子在匀强磁场中的运动 【例题4】电子质量为m 、电量为q ，以初速度v0垂直磁场进入磁感强度为B的匀强磁场中。某时刻，电子第一次通过图9-12所示的P点，θ为量，试求： 〔1〕电子从O到P经历的时间； 〔2〕O→P过程洛仑兹力的冲量。 【解说】圆周运动的根本计算。解题过程从略。 值得注意的是，洛仑兹力不是恒力，故冲量不能通过定义式去求，而应根据动量定理求解。 【答案】〔1〕 ；〔2〕2mv0sinθ 。 【例题5】如图9-13所示，S是粒子源，只能在纸面上的360°范围内发射速率相同、质量为m 、电量为q的电子。MN是一块足够大的挡板，与S相距= L 。它们处在磁感强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，试求： 〔1〕要电子能到达挡板，其发射速度至少应为多大？ 〔2〕假设发射速率为，那么电子击打在挡板上的范围怎样？ 【解说】第一问甚简，电子能击打到挡板的临界情形是轨迹与挡板相切，此时 rmin = ； 在第二问中，先求得r = L ，在考查各种方向的初速所对应的轨迹与挡板相交的“最远〞点。值得注意的是，O点上方的最远点和下方的最远点并不是相对O点对称的。 【答案】〔1〕 ；〔2〕从图中O点上方距O点L处到O点下方距O点L处的范围内。 【例题6】如图9-14甲所示，由加速电压为U的电子枪发射出的电子沿x方向射入匀强磁场，要使电子经过x下方距O为L且∠xOP = θ的P点，试讨论磁感应强度B的大小和方向的取值情况。 【解说】以一般情形论：电子初速度v0与磁感应强度B成任意夹角α ，电子应做螺旋运动，半径为r = ，螺距为d = ，它们都由α 、B决定〔v0 =是固定不变的〕。我们总可以找到适当的半径与螺距，使P点的位置满足L 、θ的要求。电子运动轨迹的三维展示如图9-14乙所示。 如果P点处于〔乙图中〕螺线轨迹的P1位置，那么α = θ ，B∥ ；如果P点处于P2或P3位置，那么α ≠ θ ，B与成一般夹角。 对于前一种情形，求解并不难——只要解L = kd〔其中k = 1，2，3，…〕方程即可；而对后一种情形，要求出B的通解就难了，这里不做讨论。此外，还有一种特解，那就是当B⊥时，这时的解法和【例题4】就完全重合了。 【答案】通解不定。当B∥时，B =〔其中k = 1，2，3，…〕；当B⊥时，B =。 〖问题存疑〗两个特解能不能统一？ 三、带电粒子在电磁复合场中的运动 一般考虑两种典型的复合情形：B和E平行，B和E垂直。 对于前一种情形，如果v0和B〔E〕成θ角，可以将v0分解为v0τ和v0n ，那么在n方向粒子做匀速圆周运动，在τ方向粒子做匀加速运动。所以，粒子的合运动是螺距递增〔或递减〕的螺线运动。 对于后一种情形〔垂直复合场〕，难度较大，必须起用动力学工具和能量〔动量〕工具共同求解。一般结论是，当v0和B垂直而和E成一般夹角时，粒子的轨迹是摆线〔的周期性衔接〕。 【例题7】在三维直角坐标中，沿+z方向有磁感强度为B的匀强磁场，沿−z方向有电场强度为E的匀强电场。在原点O有一质量为m 、电量为−q的粒子〔不计重力〕以正x方向、大小为v的初速度发射。试求粒子再过z轴的坐标与时间。 【解说】过程甚简，粒子运动情形见图9-15。 【答案】z = ，t = 。