2023年高考数学一轮复习学案（人教版a版）函数图象及数字特征高中数学.docx

2023年高考数学一轮复习精品学案〔人教版A版〕――函数图象及数字特征 一．【课标要求】 1．掌握根本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等； 2．掌握各种图象变换规那么，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等； 3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题； 4．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图像，了解它们的变化情况。 二．【命题走向】 函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的根底，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地 从历年高考形势来看： 〔1〕与函数图象有关的试题，要从图中〔或列表中〕读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题； 〔2〕函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察； 〔3〕与幂函数有关的问题主要以为主，利用它们的图象及性质解决实际问题； 预测2023年高考函数图象：〔1〕题型为1到2个填空选择题；〔2〕题目多从由解析式得函数图象、数形结合解决问题等方面出题； 函数综合问题：〔1〕题型为1个大题；〔2〕题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数的工具作用； 幂函数：单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性质来解决； 三．【要点精讲】 1．函数图象 〔1〕作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值〔甚至变化趋势〕；④描点连线，画出函数的图象。 运用描点法作图象应防止描点前的盲目性，也应防止盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为根底进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点 〔2〕三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到； 1〕y=f(x)y=f(x+h)；2〕y=f(x) y=f(x-h)； Ⅱ、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到； 1〕y=f(x) y=f(x)+h；2〕y=f(x) y=f(x)-h。 ②对称变换： Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到； y=f(x) y=f(-x) Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到； y=f(x) y= -f(x) Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到； y=f(x) y= -f(-x) Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。 y=f(x) x=f(y) Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到； y=f(x) y=f(2a-x)。 ③翻折变换： Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴下方局部沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方局部，并保存的轴上方局部即可得到； Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边局部并保存在轴右边局部即可得到 ④伸缩变换： Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩〔〕为原来的倍得到； y=f(x)y=af(x) Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩〔〕为原来的倍得到。 f(x)y=f(x)y=f() 〔3〕识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面 2．幂函数 在第一象限的图象，可分为如图中的三类： 图 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数中限于在集合中取值 幂函数有如下性质： ⑴它的图象都过〔1，1〕点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交； ⑵定义域为R或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的幂函数都不具有奇偶性； ⑶幂函数都是无界函数；在第一象限中，当时为减函数，当时为增函数； ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点〔1，1〕，至多有三个公共点； 四．【典例解析】 题型1：作图 例1．〔08江苏理14〕 设函数，假设对于任意的都有成立，那么实数的值为 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．假设x＝0，那么不管取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为， 设，那么， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4； 当x＜0 即时，≥0可化为， 在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4 【答案】4 点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系； 例2．〔2023广东卷理〕甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〔假定为直线〕行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为〔如图2所示〕．那么对于图中给定的，以下判断中一定正确的选项是 〔 〕 A. 在时刻，甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在时刻，两车的位置相同 D. 时刻后，乙车在甲车前面 答案 A 解析 由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，那么在、时刻，甲车均在乙车前面，选A. 〔2〕1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O . (2023山东卷理)函数的图像大致为 ( ). 答案 A 解析 函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,应选A . 【命题立意】:此题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.此题的难点在于给出的函数比拟复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 例3．函数满足，且当时，，那么与的图象的交点个数为 〔 〕 A、2 B、3 C、4 D、5 y x O 1 -1 1 5 解析：由知函数的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log5x=1; 当x>5时，f(x)=1∈[0，1]， log5x>1, 与的图象不再有交点，应选C [稳固]设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+1)= -f(x)，假设当x∈[0,1]时，f(x)=2x-1,那么f()= . 例4．〔2023江西卷文〕如以下图，一质点在平面上沿曲线运动， 速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象 大致为 ( ) A B C D 答案 B 解析 由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，应选. 题型3：函数的图象变换 例5．〔2023全国文，21〕 21．〔本小题总分值12分〕 设，函数． 〔Ⅰ〕假设是函数的极值点，求的值； 〔Ⅱ〕假设函数，在处取得最大值，求的取值范围． 解： 〔Ⅰ〕． 因为是函数的极值点，所以，即，因此． 经验证，当时，是函数的极值点． 4分 〔Ⅱ〕由题设，． 当在区间上的最大值为时， ， 即． 故得． 9分 反之，当时，对任意， ， 而，故在区间上的最大值为． 综上，的取值范围为． 12分 点评：借助函数图像的变换规那么解决实际问题。 例6．〔2023四川卷文〕函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ，那么的值是 ( ) A. 0 B. C. 1 D. 答案 A 解析 假设≠0，那么有，取，那么有： 〔∵是偶函数，那么 〕由此得于是 题型4：函数图象应用 例7．函数与的图像如以以下图：那么函数的图像可能是〔 〕 解析：∵函数的定义域是函数与的定义域的交集，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。 由于当x为很小的正数时且，故。∴选A。 点评：明确函数图像在x轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负〞。 例8．函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围。 解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0,得d=0， 又f(x)的图象过(1，0)， ∴f(x)=a+b+c　　　① 又有f(－1)＜0，即－a+b－c＜0　　　　 ② ①+②得b＜0，故b的范围是(－∞，0) 解法二：如图f(0)=0有三根0，1，2， ∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax， ∴b=－3a， ∵当x>2时，f(x)>0，从而有a>0， ∴b＜0。 点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。 题型5：函数图像变换的应用 例9．，方程的实根个数为〔 〕 A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 根据函数与方程的关系，知方程的根的个数即为函数与函数的图像交点的个数 该题通过作图很可能选错答案为A，这是我们作图的易错点。假设作图标准的话，在同一个直角坐标系下画出这两个函数的图像，由图知当时，图像的交点个数为3个；当时，图像的交点个数为4个；当时，图像的交点个数为2个