2023年高三数学14分突破一轮复习必备精品15高中数学.docx

考纲导读 第十五章推理与证明 〔一〕合情推理与演绎推理 1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的根本模式，并能运用它们进行一些简单推理。 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 〔二〕直接证明与间接证明 1．了解直接证明的两种根本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 2．了解间接证明的一种根本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。 〔三〕数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 高考导航 1．推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。 2．推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。 第1课时 合情推理与演绎推理 根底过关 1. 推理一般包括合情推理和演绎推理； 2.合情推理包括 和 ； 归纳推理：从个别事实中推演出 ，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是： 、 、 . 类比推理：根据两个〔或两类〕对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 或 ，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是： 、 、 . 3.演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法那么得到的 推理过程；三段论常用格式为：①M是P，② ，③S是P；其中①是 ，它提供了一个个一般性原理；②是 ，它指出了一个个特殊对象；③是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断. 4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论〔包括定义、公理、定理等〕、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法那么得到的新结论的推理过程． 典型例题 例1. ：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： ________________________________________=〔 x 〕并给出〔 x 〕式的证明 解：一般形式: 证明：左边 = = = = = 〔将一般形式写成 等均正确。〕 变式训练1：设，，n∈N，那么 解：，由归纳推理可知其周期是4 例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形， 按图所标边长，由勾股定理有： 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 . 解：。 变式训练2：在△ABC中，假设∠C=90°，AC=b,BC=a，那么△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。 答案：此题是“由平面向空间类比〞。考虑到平面中的图形是一个直角三角形， 所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c， 那么此三棱锥的外接球的半径是。 例3. 请你把不等式“假设是正实数，那么有〞推广到一般情形，并证明你的结论。 答案： 推广的结论：假设 都是正数， 证明： ∵都是正数 ∴ ， ………，， 变式训练3：观察式子：，…，那么可归纳出式子为〔 〕 A、 B、 C、 D、 答案：C。解析：用n=2代入选项判断。 例4. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,那么平行于平面内所有直线；直线 平面，直线平面，直线∥平面，那么直线∥直线〞的结论显然是错误的，这是因为 〔 〕 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。 变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。〞补充以上推理的大前提是 。 答案：菱形对角线互相垂直且平分 根底过关 第2课时 直接证明与间接证明⑴ 1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明； 直接证明的两种根本方法——分析法和综合法 ⑴ 综合法 —— ；⑵分析法 —— ；Þ Þ Þ 2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法〔归谬法〕. 典型例题 例1．假设均为实数，且。 求证：中至少有一个大于0。 答案：〔用反证法〕 假设都不大于0，即，那么有， 而 = ∴均大于或等于0，，∴，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。 变式训练1：用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。〞那么假设的内容是 答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至少有n个〞的否认是“最多有n-1个〞。 例2. △ABC的三个内角A、B、C成等差数列， 求证：。 答案：证明：要证，即需证。 即证。 又需证，需证 ∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。 由余弦定理，有，即。 ∴成立，命题得证。 变式训练2：用分析法证明：假设a>0，那么。 答案：证明：要证， 只需证。 ∵a>0，∴两边均大于零，因此只需证 只需证， 只需证，只需证， 即证，它显然成立。∴原不等式成立。 例3．数列，，，． 记．． 求证：当时， 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕。 解：〔1〕证明：用数学归纳法证明． ①当时，因为是方程的正根，所以． ②假设当时，， 因为 ， 所以． 即当时，也成立． 根据①和②，可知对任何都成立． 〔2〕证明：由，〔〕， 得． 因为，所以． 由及得， 所以． 〔3〕证明：由，得 所以， 于是， 故当时，， 又因为， 所以． 推理与证明章节测试题 1.考察以下一组不等式： .将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，那么推广的不等式可以是 . 2． 数列满足，〔〕，那么的值为 ， 的值为 ． 3. ，猜测的表达式为〔 〕 A.； B.； C.； D.. 4. 某纺织厂的一个车间有技术工人名〔〕，编号分别为1、2、3、……、，有台〔〕织布机，编号分别为1、2、3、……、，定义记号：假设第名工人操作了第号织布机，规定，否那么，那么等式的实际意义是〔 〕 A、第4名工人操作了3台织布机； B、第4名工人操作了台织布机； C、第3名工人操作了4台织布机； D、第3名工人操作了台织布机. 5. ，计算得，，，，，由此推测：当时，有 …… 6. 观察以以下图中各正方形图案，每条边上有个圆圈，每个图案中圆圈的总数是，按此规律推出：当时，与的关系式 7. 观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，那么可得出一般结论： . 8.函数由下表定义： 假设，，，那么 ． 9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;那么前件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用表示) 图1 图2 图3 图4 10.将正奇数按下表排成5列 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 …… …… 27 25 那么2023应该在第 行，第 列。 11． 如右上图，一个小朋友按如以下图的规那么练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，，一直数到2023时，对应的指头是 (填指头的名称). 12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为_____． 13．观察以下的图形中小正方形的个数，那么第n个图中有 个小正方形. 14．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的假设干图案，那么按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．〔用含n的代数式表示〕 15.如以下图，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，假设，那么.类比以上性质,体积为的三棱锥的第个面的面积记为, 此三棱锥内任一点到第个面的距离记 为,假设, 那么 ( B ) A. B. C. D. 16.设O是内一点，三边上的高分别为，O到三边的距离依次为，那么__ _______，类比到空间，O是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别为，O到这四个面的距离依次为，那么有_ __ 17．在中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，那么，由此类比：三棱锥中的三条侧棱、、两两垂直，且长度分别为、、，设棱锥底面上的高为，那么 ． 18、假设数列是等差数列，对于，那么数列也是等差数列。类比上述性质，假设数列是各项都为正数的等比数列，对于，那么= 时，数列也是等比数列。 19．△ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果b＝m〔mNx〕，那么这样的三角形共有 个〔用m表示〕． 20．如图的三角形数阵中，满足：〔1〕第1行的数为1；〔2〕第n〔n≥2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．那么第n行(n≥2)中第2个数是________〔用n表示〕. 21．在△ABC中，，判断△ABC的形状并证明. 22．a、b、c是互不相等的非零实数.假设用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2c