2023年高三数学一轮热身AB组114《垂直关系》doc高中数学.docx

第四节 垂直关系 A组 1．(2023年宁波十校联考)设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，那么以下命题是真命题的是________． ①假设b⊂α，c∥α，那么b∥c　②假设b⊂α，b∥c，那么c∥α ③假设c∥α，α⊥β，那么c⊥β ④假设c∥α，c⊥β，那么α⊥β 解析：①中，b，c亦可能异面；②中，也可能是c⊂α；③中，c与β的关系还可能是斜交、平行或c⊂β；④中，由面面垂直的判定定理可知正确． 答案：④ 2．(2023年青岛质检)直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题： ①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.那么真命题的个数为________． 解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，得l⊥β，又直线m⊂平面β，故l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.答案：2个 3．(2023年高考山东卷改编)α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，那么“α⊥β 〞是“m⊥β 〞的________条件． 解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，那么α⊥β，反过来那么不一定．所以“α⊥β〞是“m⊥β〞的必要不充分条件． 答案：必要不充分 4．(2023年高考浙江卷)如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，那么t的取值范围是________． 解析：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连结GK，∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB， ∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF. ∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK. 容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点．∴t的取值范围是(，1)．答案：(，1) 5．(原创题)a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，那么以下命题中假命题的有________． ①假设a∥b，那么α∥β；②假设α⊥β，那么a⊥b；③假设a、b相交，那么α、β相交；④假设α、β相交，那么a，b相交． 解析：假设α、β相交，那么a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线． 答案：④ 6．(2023年高考山东卷)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点． (1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1； (2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C. 证明：(1)法一：取A1B1的中点为F1，连结FF1，C1F1. 由于FF1∥BB1∥CC1， 所以F1∈平面FCC1. 因此平面FCC1即为平面C1CFF1. 连结A1D，F1C， 由于A1F1綊D1C1綊CD， 所以四边形A1DCF1为平行四边形， 因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D， 得EE1∥F1C. 而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1， 故EE1∥平面FCC1. 法二：因为F为AB的中点， CD＝2，AB＝4，AB∥CD， 所以CD綊AF， 因此四边形AFCD为平行四边形， 所以AD∥FC. 又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1. 所以平面ADD1A1∥平面FCC1. 又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1. (2)连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB， 又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB. 因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC. 又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C， 所以AC⊥平面BB1C1C. 而AC⊂平面D1AC， 故平面D1AC⊥平面BB1C1C. B组 1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么能得出a⊥b的是____． ①a⊥α，b∥β，α⊥β ②a⊥α，b⊥β，α∥β ③a⊂α，b⊥β，α∥β ④a⊂α，b∥β，α⊥β 解析：由α∥β，b⊥β ⇒b⊥α，又a⊂α，故a⊥b.答案：③ 2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，那么以下命题正确的选项是________． ①假设m⊂α，n⊂β，m∥n，那么α∥β ②假设n⊥α，n⊥β，m⊥β，那么m⊥α ③假设m∥α，n∥β，m⊥n，那么α⊥β ④假设α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，那么m⊥α 解析：由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α.答案：② 3．设m，n是两条不同的直线， α，β是两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是． ①m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β ②α∥β，m⊥α，n∥β ⇒m⊥n ③α⊥β，m⊥α，n∥β ⇒m⊥n ④α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β 解析：①错，不符合面面垂直的判断定理的条件；②由空间想象易知命题正确；③错，两直线可平行；④错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线n在平面α内时命题才成立．答案：② 4．两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，那么以下命题中正确的选项是_． ①假设m⊥α，n⊥β，α⊥β，那么m⊥n ②假设m⊥α，n∥β，α⊥β，那么m⊥n ③假设m∥α，n∥β，α∥β，那么m∥n ④假设m∥α，n⊥β，α⊥β，那么m∥n 解析：易知①正确．而②中α⊥β且m⊥α⇒m∥β或m∈β，又n∥β，容易知道m，n的位置关系不定，因此②错误．而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此③错误．而④中因为②不对，此项也不对．综上可知①正确．答案：① 5．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，那么以下命题的逆命题不成立的是________． ①c⊥α，假设c⊥β，那么α∥β ②b⊂β，c是a在β内的射影，假设b⊥c，那么a⊥b ③b⊂β，假设b⊥α，那么β⊥α ④b⊂α，c⊄α，假设c∥α，那么b∥c 解析：当b⊂β，假设β⊥α，那么未必有b⊥α.答案：③ 6．二面角α－l－β的大小为30°，m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，那么m、n所成的角为________． 解析：∵m⊥α，n⊥β， ∴m、n所成的夹角与二面角α－l－β所成的角相等或互补． ∵二面角α－l－β为30°， ∴异面直线m、n所成的角为30°.答案：30° 7．如下列图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，那么C1在底面ABC上的射影H必在直线______上． 解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，AC⊥平面ABC1，AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．答案：AB 8．(2023年江苏昆山模拟)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P在AD上运动，设∠ABP＝θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为________． 解析：过A作AH⊥BP于H，连CH，∴AH⊥平面BCDP. ∴在Rt△ABH中，AH＝3sinθ，BH＝3cosθ. 在△BHC中，CH2＝(3cosθ)2＋42－2×4×3cosθ×cos(90°－θ)， ∴在Rt△ACH中， AC2＝25－12sin2θ， ∴θ＝45°时，AC长最小．答案：45° 9．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，那么在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条． 解析：设正四棱锥的底面边长为a，那么侧棱长为a. 由PM⊥BC， ∴PM＝＝a， 连结PG并延长与AD相交于N点， 那么PN＝a，MN＝AB＝a， ∴PM2＋PN2＝MN2， ∴PM⊥PN，又PM⊥AD， ∴PM⊥面PAD， ∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．答案：无数 10．如图，在三棱锥S－ABC中，OA＝OB，O为BC中点，SO⊥平面ABC，E为SC中点，F为AB中点． (1)求证：OE∥平面SAB； (2)求证：平面SOF⊥平面SAB. 证明：(1)取AC的中点G，连结OG，EG， ∵OG∥AB，EG∥AS，EG∩OG＝G，SA∩AB＝A， ∴平面EGO∥平面SAB，OE⊂平面OEG ∴OE∥平面SAB (2)∵SO⊥平面ABC， ∴SO⊥OB，SO⊥OA， 又∵OA＝OB，SA2＝SO2＋OA2，SB2＝SO2＋OB2， ∴SA＝SB，又F为AB中点， ∴SF⊥AB，∵SO⊥AB， ∵SF∩SO＝S，∴AB⊥平面SOF， ∵AB⊂平面SAB，∴平面SOF⊥平面SAB. 11．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点． (1)求证：CE∥平面C1E1F； (2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF. 证明：(1)取CC1的中点G，连结B1G交C1F于点F1，连结E1F1，A1G，FG， ∵F是BB1的中点，BCC1B1是矩形， ∵四边形FGC1B1也是矩形， ∴FC1与B1G相互平分，即F1是B1G的中点． 又E1是A1B1的中点，∴A1G∥E1F1. 又在长方体中，AA1綊CC1，E，G分别为AA1，CC1的中点， ∴A1E綊CG，∴四边形A1ECG是平行四边形， ∴A1G∥CE，∴E1F1∥CE. ∵CE⊄平面C1E1F，E1F1⊂平面C1E1F， ∴CE∥平面C1E1F. (2)∵长方形BCC1B1中，BB1＝2BC，F是BB1的中点， ∴△BCF、△B1C1F都是等腰直角三角形， ∴∠BFC＝∠B1FC1＝45°， ∴∠CFC1＝180°－45°－45°＝90°， ∴C1F⊥CF. ∵E，F分别是矩形ABB1A1的边AA1，BB1的中点， ∴EF∥AB. 又AB⊥平面BCC1B1，又C1F⊂平面BCC1B1， ∴AB⊥C1F，∴EF⊥C1F. 又CF∩EF＝F，∴C1F⊥平面CEF. ∵C1F⊂平面C1E1F，∴平面C1E1F⊥平面CEF. 12．(2023年江苏淮安模拟)如图，空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，E是AB的中点． 求证：(1)AB⊥平面CDE； (2)平面CDE⊥平面ABC； (3)假设G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE. 证明：(1)⇒CE⊥AB，同理， ⇒DE⊥AB， 又∵CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CDE. (2)由(1)知AB⊥平面CDE， 又∵AB⊂平面ABC， ∴平面CDE⊥平面ABC. (3)连结AG并延长交CD于H，连结EH，那么＝， 在AE上取点F使得＝， 那么GF∥EH，