2023年举例在演讲中的重要性.docx

举例在演讲中的重要性 导数在研究不等式中的应用举例 陕西张磊 导数问题和不等式问题相互交织构成了高考试题中的一道亮丽的风景线，常见的题型有四种.根本方法：构造函数，利用导数研究函数的单调性来解或证不等式或求最值研究恒成立问题.1比较两个函数值大小（尤其比较两抽象函数） （1）设函数f（x），g（x）在（a，b）上可导，且f′（x）>g′（x），那么当ag（x）+f（a） （c）f（x）g（x）+f（b） 解构造函数f（x）=f（x）-g（x），那么f′（x）=f′（x）-g′（x）>0，故函数f（x）在区间[a，b]上递增，又aaf（b）（b）bf（a）bf（b）（a）af（a）0，故函数f（x）=，即选af（x）x在区间（0，+∞）上递增，又a>b>0，从而 2求解不等式>f（b）b （3）设f（x），g（x）分别是定义在r上的奇函数和偶函数，当x0，且g（-3）=0，那么不等式f（x）g（x）0，故函数f（x）在r上递增，又f（x），g（x）分别是定义在r上的奇函数和偶函数且g（-3）=0结合题意提供的信息作出大致图像如图示，不难得到不等式解集为d3含参不等式恒成立问题 解不等式恒成立问题的根本思想是把问题转化为求函数的最值或函数的值域的端点问题.利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求得参数的取值范围;也可别离变量构造函数，直接把问题转化为函数最值问题. （4）函数f（x）=axlnx的图像在点（e，f（e））处的切线与直线y=2x平行（其中e为自然对数的底数），g（x）=x2-bx-2 ①求函数f（x）的解析式 ②对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求实数b取值范围.解：①依题，函数f（x）=axlnx的图像在点（e，f（e））处的切线的斜率k=2，即f′（e）=2又f′（x）=a（lnx+1），令a（lne+1）=2，得a=1，∴f（x）=xlnx ②对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，∴3xlnx≥x2-bx-2在x∈（0，e]上恒成立.即b≥x-3lnx-在x∈（0，e]上恒成立，（别离变量法） x2 令h（x）=x-3lnx-x∈（0，e]那么h′（x）= x 2x-1（x-2） x2 由h′（x）=0 得x=1或x=2∴x∈（0，1）时h′（x）>0h（x）单调递增;x∈（1，2） 时h′（x）0，h（x）单调递增 ∴h（x）极大值=h（1）=-1，而h（e）=e-3-2e-2023）的图像在点（1，f（1））处的 xb 切线与直线y=2x+1平行. ①求a，b满足的关系式 ②假设f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围.解①f（x）=a-，根据题意f′（1）=a-b=2，即b=a-2 x ′ b ②由①知，f（x）=ax+ a-2x +2-2a a-2x 令g（x）=f（x）-2lnx=ax+ 那么g（1）=0，g′（x）=a-当0 第3页 共3页