2023年高考数学压轴题跟踪演练系列六份2.docx

江苏省备战2023高考数学――压轴题跟踪演练系列三 ------------------------------------------------------------------------------------- 1．（本小题总分值13分） 如图，双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点. （I）求证：； （II）假设且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程； （III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明. 解：（I）右准线，渐近线 ， ……3分 （II） 双曲线C的方程为： ……7分 （III）由题意可得 ……8分 证明：设，点 由得 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q ……11分 ，得 的取值范围是（0，1） ……13分 2．（本小题总分值13分） 函数， 数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求； （III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？假设存在，那么这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；假设不存在，请说明理由. （IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值. 解：（I） ……1分 …… 将这n个式子相加，得 ……3分 （II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1 ……6分 （III）设满足条件的正整数N存在，那么 又 均满足条件 它们构成首项为2023，公差为2的等差数列. 设共有m个满足条件的正整数N，那么，解得 中满足条件的正整数N存在，共有495个， ……9分 （IV）设，即 那么 显然，其极限存在，并且 ……10分 注：（c为非零常数），等都能使存在. 19. （本小题总分值14分） 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2. （I）求此双曲线的渐近线的方程； （II）假设A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； （III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.假设存在，求出直线的方程；假设不存在，说明理由. 解：（I） ，渐近线方程为 4分 （II）设，AB的中点 那么M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分） （III）假设存在满足条件的直线 设 由（i）（ii）得 ∴k不存在，即不存在满足条件的直线. 14分 3. （本小题总分值13分） 数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且. （I）求证数列是等比数列； （II）设数列的公比，数列满足： ，试问当m为何值时， 成立？ 解：（I）由 （2） 由得：，即对任意都成立 （II）当时， 由题意知， 13分 4．（本小题总分值12分） 设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5． （1）求椭圆的离心率； （2）假设过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程． 解：（1）设点其中． 由分所成的比为8∶5，得，　　　　　　　　　　　2分 ∴．①，　　　　　　　　　　　　　4分 而， ∴．．②，　　　　　　　　　　　5分 由①②知． ∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分 （2）满足条件的圆心为， ，　　　　　　　　　　　　　　8分 圆半径．　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分 由圆与直线：相切得，， 又．∴椭圆方程为．　　　　　　　　12分 5．（本小题总分值14分） （理）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差． （文）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差． （理）解：设公差为，那么．　　3分 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分 又． ∴，当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分 ∴．　　　　　　　　　　　　13分 当数列首项，公差时，， ∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　14分 （文）解：设公差为，那么．　　　3分 ，　　　　　　　　　　　6分 又． ∴． 当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　11分 ∴．　　　　　　　　　　　　　13分 当数列首项，公差时，． ∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　14分 6．（本小题总分值12分） 垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0） （Ⅰ）证明： （Ⅱ）过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值. 解（Ⅰ）证明： 　　　　① 直线A2N的方程为 ②……4分 ①×②，得 （Ⅱ） ……10分 当……12分 7．（本小题总分值14分） 函数 （Ⅰ）假设 （Ⅱ）假设 （Ⅲ）假设的大小关系（不必写出比较过程）. 解：（Ⅰ） （Ⅱ）设， ……6分 （Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时 当k为奇数时……14分