2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版20.docx

2022年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:00-9:40） 一、 选择题（此题总分值36分，每题6分） 1．设全集是实数，假设A={x|≤0}，B={x|10=10x}，那么A∩∁RB是( ) (A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D) Æ 2．设sina＞0，cosa＜0，且sin＞cos，那么的取值范围是( ) (A)(2kp+，2kp+)， kÎZ (B)( + ，+)，kÎ Z (C)(2kp+，2kp+p)，kÎ Z (D)(2kp+，2kp+)∪(2kp+，2kp+p)，kÎ Z 3．点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，那么△ABC的面积是( ) (A) (B) (C)3 (D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p¹q，假设p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，那么一元二次方程bx2-2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 6．设ω=cos+isin，那么以w，w3，w7，w9为根的方程是( ) (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0 (C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0 二．填空题（此题总分值54分，每题9分） 1．arcsin(sin2022°)=__________． 2．设an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，那么(++…+))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.假设该椭圆的离心率是，那么∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，假设正四面体的棱长为a，那么这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a¹b，b¹c，c¹d，d¹a； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(此题总分值60分，每题20分) 1．设Sn=1+2+3+…+n，nÎNx，求f(n)=的最大值． 2．假设函数f(x)=－x2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]． 3．C0：x2+y2=1和C1：+=1 (a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论． 2022年全国高中数学联赛二试题 （10月15日上午10∶00-12∶00） 一．（此题总分值50分） A B C D E F M N 如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等． 二．（此题总分值50分） 设数列{a n}和{b n }满足a0=1，a1=4，a2=49，且 n=0，1，2，…… 证明a n（n=0，1，2，…）是完全平方数． 三．（此题总分值50分） 有n个人，他们中的任意两人至多通 一次，他们中的任意n－2个人之间通 的次数相等，都是3 k次，其中k是自然数，求n的所有可能值． 2022年全国高中数学联合竞赛试题解答 第一试 一．选择题（此题总分值36分，每题6分） 1．设全集是实数，假设A={x|≤0}，B={x|10=10x}，那么A∩∁RB是( ) (A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D) Æ 解：A={2}，B={2，－1}，应选D． 2．设sina＞0，cosa＜0，且sin＞cos，那么的取值范围是( ) (A)(2kp+，2kp+)， kÎZ (B)( + ，+)，kÎZ (C)(2kp+，2kp+p)，kÎ Z (D)(2kp+，2kp+)∪(2kp+，2kp+p)，kÎZ 解：满足sina＞0，cosa＜0的α的范围是(2kp+，2kp+π)，于是的取值范围是(+，+)， 满足sin＞cos的的取值范围为(2kp+，2kp+)．故所求范围是(2kp+，2kp+)∪(2kp+，2kp+p)，kÎZ．选D． 3．点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，那么△ABC的面积是( ) (A) (B) (C)3 (D)6 解：A(－1，0)，AB方程：y=(x+1)，代入双曲线方程，解得B(2，)， ∴ S=3．选C． 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p¹q，假设p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，那么一元二次方程bx2-2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 解：a2=pq，b+c=p+q．b=，c=； △=a2－bc=pq－(2p+q)(p+2q)=－(p－q)2<0．选A． 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 解：直线即25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离==． ∵5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B． 6．设ω=cos+isin，那么以w，w3，w7，w9为根的方程是( ) (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0 (C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0 解：ω5+1=0，故w，w3，w7，w9 都是方程x5+1=0的根．x5+1=(x+1)(x4－x3+x2－x+1)=0．选B． 二．填空题（此题总分值54分，每题9分） 1．arcsin(sin2022°)=__________. 解：2022°=180°×12－160°．故填－20°或－． 2．设an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，那么(++…+))=________. 解：an=3n－2C．∴ ==，故填18． 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 解：q=====．填． 4．在椭圆+=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.假设该椭圆的离心率是，那么∠ABF=_________. 解：c=a，∴|AF|=a．|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2=a2． 故有|AF|2=|AB|2+|BF|2．即∠ABF=90°．填90°． 或由b2=a2－c2=a2=ac，得解． 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，假设正四面体的棱长为a，那么这个球的体积是________. 解：取球心O与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=a， AG=a，AO=a，BG=a，AB∶AO=BG∶OH． OH==a．V=πr3=πa3．填πa3．． 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a¹b，b¹c，c¹d，d¹a； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 解：a、c可以相等，b、d也可以相等． ⑴ 当a、c相等，b、d也相等时，有C=6种； ⑵ 当a、c相等，b、d不相等时，有A+A=8种； ⑶ 当a、c不相等，b、d相等时，有CC+C=8种； ⑷ 当a、c不相等，b、d也不相等时，有A=6种；共28种．填28． 三、解答题(此题总分值60分，每题20分) 1．设Sn=1+2+3+…+n，nÎNx，求f(n)=的最大值． 解：Sn=n(n+1)，f(n)= = ≤．(n=8时取得最大值)． 2．假设函数f(x)=－x2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]． 解：⑴ 假设a≤b<0，那么最大值为f(b)=－b2+=2b．最小值为f(a)=－a2+=2a．即a，b是方程x2+4x－13=0的两个根，而此方程两根异号．故不可能． ⑵ 假设a<0<b，当x=0时，f(x)取最大值，故2b=，得b=． 当x=a或x=b时f(x)取最小值，①f(a)=－a2+=2a时．a=－2±，但a<0，故取a=－2－．由于|a|>|b|，从而f(a)是最小值．②f(b)=－b2+==2a>0．与a<0矛盾．故舍． ⑶ 0≤a<b．此时，最大值为f(a)=2b，最小值为f(b)=2a． ∴ －b2+=2a．－a2+=2b．相减得a+b=4．解得a=1，b=3． ∴ [a，b]=[1，3]或[－2－，]． 3．C0：x2+y2=1和C1：+=1 (a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论． 解：设PQRS是与C0外切且与C1内接的平行四边形．易知圆的外切平行四边形是菱形．即PQRS是菱形．于是OP⊥OQ． 设P(r1cosθ，r1sinθ)，Q(r2cos(θ+90°)，r2sin(θ+90°)，那么在直角三角形POQ中有r12+r22=r12r22(利用△POQ的面积)．即+=1． 但+=1，即=+， 同理，=+，相加得+=1． 反之，假设+=1成立，那么对于椭圆上任一点P(r1cosθ，r1sinθ)，取椭圆上点Q(r2cos(θ+90°)，r2sin(θ+90°)，那么=+，，=+，，于是+=+=1，此时PQ与C0相切．即存在满足条件的平行四边形． 故证． 第二试 一．（此题总分值50分） 如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等． 证明：连MN，那么由FM⊥AM，FN⊥AN知A、M、F、N四点共圆，且该圆的直径为AF